47.1. Закон распределения дискретной случайной величины. Биномиальное распределение дискретной случайной величины

Для задания дискретной случайной величины необходимо перечислить все ее возможные значения и указать вероятности их появления.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равнаследовательно, вероятность не появленияРассмотрим в качестве дискретной случайной величинычисло появлений событияв этих испытаниях.

Найдем закон распределения случайной величины Для решения поставленной задачи требуется определить возможные значенияи их вероятности. Событиевнезависимых испытаниях может либо появиться, либо не появиться 1 раз, либо 2 раза, либораз. Таким образом, возможные значениябудутследующими: Остается найти вероятности этих возможных значений, для чего следует пользоваться формулой Бернулли

где

Данная формула является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Биномиальный закон можно записать в виде таблицы.

Таблица 10

			…		…	0
			…		…

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равнаДля определения вероятностипоявлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если жевелико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала. В этих случаях прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

47.2. Распределение Пуассона дискретной случайной величины. Простейший поток событий

Если стоит задача найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно раз. Сделаем важное допущение: произведениесохраняет постоянное значение, а именноЭтоозначает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях остается неизменным.

Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления, интересующей нас вероятности

Так как то

Следовательно,

Примем во внимание, что имеет очень большое значение, вместонайдем

При этом будет найдено лишь приближенное значение отыскиваемой вероятности. Итак,

Таким образом,

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (велико) и редких (мало) событий.

Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт, последовательность отказов элементов.

Среди свойств, которыми могут обладать потоки, выделяют свойства стационарности, отсутствие последствия и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени зависит только от числаи от длительностипромежутка и не зависит от начала отсчета.

Если поток обладает свойством стационарности, то вероятность появления событий за промежуток времени длительностиесть функция, зависящая только оти

Свойство отсутствия последствия характеризуется тем, что вероятность появления событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.

Если поток обладает свойством отсутствия последействия, то имеет место взаимная независимость появлений того или иного числа событий в непересекающиеся промежутки времени.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно.

Если поток обладает свойством ординарности, то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Простейшим называют поток событий, который обладает свойством стационарности.

Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления событий простейшего потока за время длительностьюопределяется формулой Пуассона

Формулу Пуассона можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Рассмотрим пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 минут поступит 2 вызова.

По условию, Воспользуемся формулой Пуассона

т.е. событие практически невозможно.

Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна и, следовательно, вероятность его непоявления

Испытания заканчиваются, как только появится событие Таким образом, если событиепоявилось вм испытании, то в предшествующихиспытаниях оно не появлялось.

Обозначим через дискретную случайную величину – число испытаний, которые нужно провести до первого появления событияОчевидно, возможными значениямиявляются натуральные числа:

Пусть в первых испытаниях событиене наступило, а вм испытании появилось. Вероятность этого события, по теореме умножения вероятностей независимых событий,

Полагая получим геометрическую прогрессию с первым членоми знаменателем

Рассмотрим пример.

Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель Найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.

По условию Искомая вероятность

Распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим, определяет формула

вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию к числу всех элементарных исходов.

Пусть в партии из изделий имеетсястандартныхИз партии случайно отбираютизделий (каждое изделие может быть извлечено с одинаковой вероятностью), причем отобранное изделие перед отбором следующего не возвращается в партию. Обозначим черезслучайную величину – числостандартных изделий средиотобранных. Возможные значенияНайдем вероятность того, чтот.е. что средиотобранных изделий ровностандартных. Для этого будем использовать классическое определение вероятности.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь изделий изизделий, т.е. числу сочетаний

Число исходов благоприятствующих событию находят следующим образом:стандартных изделий можно извлечь изстандартных изделийспособами; взятьнестандартных изделий изнестандартных изделий можноспособами. Тогда, число благоприятствующих событию, равно.

Рассмотрим пример. Среди 50 изделий 20 окрашенных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 5 изделий окажется ровно 3 окрашенных.

По условию,

Искомая вероятность будет равна