45.1. Формула Бернулли

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события . Рассмотрим независимые испытания, в котором событие имеет одну и ту же вероятность.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события в каждом испытании одна и та же, а именно – . Следовательно, вероятность не наступления события равна .

Перед нами будет стоять задача найти вероятность того, что при n испытаниях событие осуществится раз, следовательно, не осуществится раз. Не требуется, чтобы событие повторилось ровно раз в определенной последовательности. Искомую вероятность обозначим

Поставленную задачу можно решить с помощью формулы Бернулли.

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие наступит m раз и не наступит раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна

Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из элементов по элементов, т.е. . Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий, искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то

– это есть формула Бернулли.

Рассмотрим пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение суток равна , следовательно

.

Тогда, используя формулу Бернулли, можно найти искомую вероятность

45.2. Наивероятнейшее число наступлений событий

Есть такие значения m, которые обладают наибольшей вероятностью. Для нахождения наивероятнейшего числа используют двойное неравенство

Необходимо заметить, что так как

то всегда существует целое число , удовлетворяющее неравенству. При этом, если- целое число, то наивероятнейших чисел два

.

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например,

45.3. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа

Локальная теорема Лапласа дает формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно m раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Теорема Лапласа: если вероятность p появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля, то вероятность того, что событие появится в n испытаниях ровно раз, приближенно равна

Рассмотрим пример. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле . Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень ровно 8 раз.

Используя формулу Лапласа, получим

так как согласно таблице функции Лапласа.

Предположим, что производится n испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна Как вычислить вероятность того, что событиепоявится в испытаниях не менее раз и не болеераз?

Интегральная теорема Лапласа: если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность

Ф(x) – интегральная функция Лапласа, которая равна

Рассмотрим пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется не проверенных от 70 до 100 деталей.

Согласно тем данным, которые даны в задаче, можно, используя интегральную формулу Лапласа найти искомую вероятность

так как