43.1. Общие понятия теории графов

Теория графов – один из универсальных и нагляд­ных языков: графический, который применяется во многих облас­тях науки и техники.

Теория графов дает исключительно удобный аппарат для моделирования структурных свойств различ­ных систем и отношений между объектами разной природы.

Впервые понятие «граф» ввел в 1936 г. венгерский математик Денни Кёниг. Но первая работа по теории графов принадлежала перу великого Леонарда Эйлера и была написана еще в 1736 г. С помощью графов изображаются схемы различных дорог, линии воздушных сообщений, газопроводов, теплотрасс, электросетей, а также микросхемы, дискретные многошаговые процессы, си­стемы различных бинарных отношений, структурные химические формулы и другие диаграммы и схемы.

Граф – множество линий , соединяющее пары точек множества . Точки называютсявершинами (узлами) графа, линии – ребрами графа.

Если задан граф то –конечное непустое множество его вершин, – множество его ребер. Ребро называется инцидентным по отношению к тем вершинам, которые оно соединяет.

Две вершины графа на­зываются смежными, если существует инцидентное им ребро.

Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину.

Степенью вершины называется число, равное числу ребер, инцидентных этой вершине. Степень вершины обозначается символом (от англ.degree - степень).

Если вершине инцидентна петля, то степень ее равна двум: оба конца такого ребра приходят в эту вершину.

Вершина называется изолированной, если степень ее равна нулю.

Граф на­зывается нуль – графом, если он состоит из изолированных вершин.

Вершина графа называется висячей, если степень ее 1.

Теорема 1. В графе сумма степеней всех его вершин – число четное, равное удвоенному числу ребер графа.

Пример. Пусть граф содержит 5 ребер, тогда степень этого графа равна

Вершина называется четной, если ее степень есть четное число и нечетной, если степень ее есть нечетное число.

Теорема 2. Число нечетных вершин любого графа – четно.

Следствие. Невозможно начертить граф с нечетным числом нечетных вершин.

Граф называется полным, если любые две его различные вершины соединены одним и только одним ребром.

Полный граф опре­деляется только своими вершинами.

Степень любой вершины полного графа, очевидно, равна , где– число его вершин. Число ребер этого графа равно числу сочетаний из по 2.

Дополнением графа называется граф , которой состоит из вершин первого графа и ребер, которые дополняют первый граф до полного графа.

Граф называется ориентированным (или орграфом), если некоторые ребра имеют направление. Это означает, что в орграфе некоторая вершина может быть соединена с другой вершиной, а обратного соединения нет. Геометрически граф часто изображают точками плоскости, причем соседние вершины соединены дугами (для орграфа некоторые дуги имеют направление, что обычно отмечают стрелкой).

Помимо этого, в теории графов рассматриваются также мультиграфы – это такие графы, в которых могут быть петли (т. е. некоторая вершина соединена сама с собой ребром) или некоторые пары вершины могут быть соединены между собой несколькими ребрами.

Маршрут в графе – это последовательность соседних (смежных) вершин. Ясно, что можно определить маршрут и как последовательность смежных ребер (в этом случае ребра приобретают направление). Заметим, что в маршруте могут повторяться вершины, но не ребра. Маршрут называется циклом, если в нем первая вершина совпадает с последней.

Путь в графе (иногда говорят простой путь) – это маршрут без повторения вершин (а значит, и ребер).

Контур – это цикл без повторения вершин, за исключением первой вершины, совпадающей с последней.

Последовательности вершин: 1–2–3–4–2–5 не простой путь, а маршрут; последовательности 1–2–3–4–7–5 и 1–2–5 – простые пути; 1–2–3–4–2–5–6–1 –это цикл (но не контур); 1–2–5–6–1 – это контур.

Рис. 71

Граф

Расстоянием между двумя вершинами называется минималь­ная длина из всех возможных маршрутов между этими вершина­ми при условии, что существует хотя бы один такой маршрут. Расстояние обозначается символами

где вершины иначало и конец маршрута,– число, равное наименьшей длине маршрута.

Поскольку рассматриваются конечные графы, минимум мож­но найти всегда. Формально можно ввести расстояние

,

между любой вершиной и ей же самой, что соответствует нулевому маршруту, у которого начало и конец в одной вершине.

В маршруте одно и то же ребро может встретиться несколько раз.

Если ребро встретилось только один раз, то маршрут называ­ется цепью. Запись вида 3-цепь означает, что между двумя точками имеется цепь – маршрут, длина которого равна 3.

В орграфе маршрут является ориентированным и называется путем. На путь сразу налагаются важные требования, являющиеся частью определения:

- направление каждой дуги должно совпадать с направлением пути;

- ни одно ребро пути не должно встречаться дважды.

Поэтому путь – упорядоченная последовательность ребер ориентированного графа, в которой конец предыдущего ребра совпадает с началом следующего и все ребра единственны.

В графе цепь, путь и цикл называются простыми, если они проходят через любую из вершин не более одного раза.

Неориен­тированный граф называется связным, если между любыми дву­мя его вершинами есть маршрут. В противном случае он называется – несвязным.

Две вершины называются связными, если существует маршрут между ними.

Граф можно разбить на непересекающиеся подмножества (графы) по признаку связности, которые называются подграфами.

Вершины одного множества являются связ­ными между собой, а вершины различных множеств – несвязны.

Все подграфы (классы эквивалентности) графа назы­вают связными компонентами, или компонентами связности. Связ­ный граф имеет одну компоненту связности.

В конечном связном графе всегда можно по­строить ориентированный цикл, проходящий через каждое реб­ро по одному разу в двух направлениях. Такой цикл называют способом обхода всего графа и используют при решении многих прикладных задач.

Разработаны специальные алго­ритмы обхода ребер графа, которые можно использовать при ре­шении задач вида “поиска выхода из лабиринта”.

Теорема. Для того чтобы связный граф являлся простым циклом, необходимо и достаточно, чтобы каждая его вершина имела степень, равную 2.

Ребро связного графа на­зывается мостом, если после его удале­ния станет несвязным и распадется на два связных графа и .

Теорема. Ребро графа является мостом тогда и только тогда, когда не принадлежит ни одному циклу.

Графы и называются изоморфными, если существует вза­имно-однозначное соответствие между их ребрами и вершинами, причем соответствующие ребра соединяют соответствующие вер­шины.

Аналогично устанавливается изоморфизм между ориентирован­ными графами. При этом следует помнить, что ребро является упорядоченным множеством, и надо быть особенно вниматель­ным, соблюдая порядок.

Изоморфизм графов является отношением эквива­лентности.

Это можно заметить исходя из свойств подста­новок. На практике такие различные по внешним признакам изо­морфные графы не различают, рассматривая их с точностью до изоморфизма.

Граф называется планарным (плоским), если существует изо­морфный ему граф , в изображении которого на плоскости ребра пересекаются только в вершинах. Иными словами, у планарного графа никакие два ребра не имеют общих точек, кроме общих вершин.

Областью назовем подмножество плоскости, пересека­ющееся с планарным графом только по некоторому простому циклу графа, являющемуся границей области.