39.1. Функциональные ряды

Ряд, членами которого являются функции от называется функциональным

Придавая определенное значениеполучаем числовой ряд

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда

Если ряд расходится, то точка называется точкой расходимости ряда

Совокупность числовых значений аргумента при которых функциональный ряд сходится, называется егообластью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от

Определяется сумма в области сходимости равенством

где

- частичная сумма.

Рассмотрим пример. Найти область сходимости ряда

Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем Следовательно, этот ряд сходится прит.е. при всехсумма ряда равна

при

Рассмотрим пример. Исследовать сходимость функционального ряда

Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда

Так как при любом имеет место соотношение

а ряд с общим членом сходится, то по признаку сравнения ряд, состоящий из модулей, сходится при всех

39.2. Степенные ряды

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента т.е. так называемыйстепенной ряд

Действительные (или комплексные) числа называются коэффициентами ряда,действительная переменная.

Ряд

расположен по степеням Рассматривают также ряд, расположенный по степенямт.е. ряд вида

где некоторое постоянное число.

Совокупность тех значений при которых степенной ряд

сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Рассмотрим пример. Найти область сходимости степенного ряда

Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем который сходится приОтсюда

т.е. областью сходимости является интервал

39.3. Теорема Абеля

Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.

Если степенной ряд сходится при значении то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях таких, что

Если степенной ряд расходится при то он расходится при всех значенияхтаких, что

Из теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервалвесь состоит из точек сходимости данного ряда, при всех значенияхвне этого интервала ряд

расходится.

Интервал называетсяинтервалом сходимости степенного ряда. Положив интервал сходимости можно записать в видеЧислоназываетсярадиусом сходимости степенного ряда, т.е. это такое число, что при всехдля которых

рассматриваемый ряд абсолютно сходится, а при ряд расходится.

На концах интервала радиуса сходимости, т.е. при сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда

через его коэффициенты. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов

в котором все коэффициенты по крайней мере, начиная с некоторого номераотличны от нуля. По признаку Даламбера ряд сходится, если

будет меньше единицы, т.е.

Радиус сходимости рассматриваемого ряда

Рассмотрим пример. Найти область сходимости степенного ряда

Найдем радиус сходимости

Следовательно, интервал сходимости

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

Пусть тогда степенной ряд примет вид

Сравним числовой ряд

с обобщенно гармоническим рядом

Применим признак сравнения

Так как предел конечен и отличен от нуля, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно. Ряд

сходится, то сходится и ряд

Следовательно, точка принадлежит области сходимости.

Пусть тогда степенной ряд примет вид

Это знакочередующийся ряд. Абсолютные величины членов этого ряда монотонно убывают и

По признаку Лейбница, ряд

сходится. Следовательно, точка принадлежит области сходимости.

Таким образом, областью сходимости степенного ряда

будет отрезок

Стоит отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку у других охватывает всю числовую ось

Степенной ряд в интервале его сходимости можно интегрировать и дифференцировать почленно. Его сумма является непрерывной функцией.

Рассмотрим пример. Найти область сходимости степенного ряда

Найдем радиус сходимости ряда по формуле

т.е. интервал сходимости ряда

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. На левом конце при данный степенной ряд принимает вид

этот ряд сходится по признаку Лейбница.

На правом конце, при получаем ряд

представляющий обобщенный гармонический ряд при у которого все члены с четными номерами равны нулю. Так както этот ряд сходится.

Итак, область сходимости данного ряда

Контрольные вопросы

1. Дать определение степенного ряда.

2. Сформулировать теорему Абеля.

3. Как найти радиус сходимости степенного ряда?

4. Что называют областью сходимости степенного ряда?

Лекция №40. Разложение функций в степенные ряды

40.1. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора, Маклорена.

40.2. Приложение рядов к приближенным вычислениям.