40.1. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора, Маклорена

Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функциюпредставлять в виде суммы степенного ряда.

Для любой функции определенной в окрестности точкии имеющей в ней производные до-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора

где

остаточный член в форме Лагранжа. Число можно записать в виде

где

Если функция имеет производные любых порядков в окрестности точкии остаточный членстремится к нулю прито из формулы Тейлора получается разложение функциипо степенямназываемоерядом Тейлора

Если в ряде Тейлора положить то получим разложение функции по степенямвряд Маклорена

Для того, чтобы ряд Тейлора функции сходился кв точкенеобходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремится к нулю прит.е. чтобы

Если модули всех производных функций ограничены в окрестности точкиодним и тем же числомто для любогоиз этой окрестности ряд Тейлора функциисходится к функциит.е. имеет место разложение

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена).

Для разложения функции в ряд Маклорена нужно:

1. найти производные

2. вычислить значения производных в точке

3. написать ряд

для заданной функции и найти его интервал сходимости;

4. найти интервал в котором остаточный член ряда Маклорена приЕсли такой интервал существует, то в нем функцияи сумма ряда Маклорена совпадают.

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

Рассмотрим пример. Разложить в ряд функцию

Так как по

то, заменяя наполучим

Область сходимости ряда

Рассмотрим пример. Разлить в ряд функцию

В разложении

заменим наполучим

Теперь

Область сходимости ряда

40.2. Приложение рядов к приближенным вычислениям

Приближенное вычисление значений функции.

Пусть требуется вычислить значение функции прис заданной точностью

Если функцию в интервалеможно разложить в степенной ряд

то точное значение равно сумме этого ряда прит.е.

а приближенное значение – частичной сумме

Точность этого равенства увеличивается с ростом

Рассмотрим пример. Вычислить приближенно с точностью до

Для вычисления

запишем ряд

при принадлежащем области сходимости

Взяв первые шесть членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося ряда мы допустим погрешность, не превышающую первого отброшенного члена, т.е.

Итак,

Для вычисления запишем

при входящим в область сходимости ряда

Если в качестве взять первые четыре члена, мы допустим погрешность

Итак,

Представим в виде

Так как входит в область сходимости степенного рядато при

учитывая, что

получим

Для обеспечения данной точности расчета необходимо взять 4 члена, так как по следствию из признака Лейбница для сходящегося ряда погрешность

Для вычисления

запишем ряд

при принадлежащем области сходимости

Необходимо взять два члена, так как при этом погрешность

Итак,

Приближенное вычисление определенных интегралов.

Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции, либо нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить интеграл

с точностью до Если подынтегральную функциюможно разложить в ряд по степенями интеграл сходимостивключит в себя отрезокто для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.

Рассмотрим пример. Вычислить приближенно с точностью до

Точное интегрирование здесь невозможно, так как интеграл «неберущийся». Заменив на в разложении

получим

Умножая полученный ряд на получим

затем почленно интегрируя в интервале принадлежащем интервалу сходимости рядаполучим

Оценка погрешности вычисления производится так же, как и в предыдущих примерах.

Приближенное решение дифференциальных уравнений.

Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом Тейлора. Одним из способов решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов, является способ последовательного дифференцирования. Способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.

Пусть, например, требуется решить уравнение

удовлетворяющее начальным условиям

Решение уравнения

ищем в виде ряда Тейлора

при этом первые два коэффициента находим из начальных условий

находим третий коэффициент

Значения

находим путем последовательного дифференцирования уравнения

по и вычисления производных приНайденные значения производных подставляем в равенство

Этот ряд представляет искомое решение уравнения

для тех значений при которых он сходится. Частная сумма этого ряда будет приближенным решением уравнения

Рассмотрим пример. Методом последовательного дифференцирования найти 5 первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения

Будем искать решение уравнения в виде

Здесь

Находим подставивв исходное уравнение

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное уравнение

при имеем

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим

Контрольные вопросы

1. Привести примеры разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

2. Сформулировать алгоритм приближенного вычисления определенных интегралов.

3. Сформулировать алгоритм приближенного решения дифференциального уравнения.

Лекция №41. Ряды Фурье

41.1. Периодические функции.

41.2. Определение ряда Фурье.

41.3. Ряды Фурье четных и нечетных периодических функций с произвольным периодом.