51.4. Критерий Колмогорова

На практике кроме критерия часто используется критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривают максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределенияи соответствующей теоретической функцией распределения

,

которое называют статистикой критерия Колмогорова.

Какова бы ни была функция распределения непрерывной случайной величиныХ, при неограниченном увеличении числа наблюдений

(

вероятность неравенства стремится к пределу

Схема применения критерия Колмогорова следующая:

1)построить эмпирическую функцию распределения и предполагаемую теоретическую функцию распределения;

2) определить меру расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением по формуле

и вычислить величину .

Рекомендуется построить вспомогательную таблицу

	….	….	….	…..

По эмпирическим данным рассчитывается распределение

По заданному объему выборки n и уровню значимости определяют табличное значениеи находят

Если вычисленное значение окажется больше критического, то нулевая гипотеза о том, что случайная величинаимеет заданный закон распределения, отвергается. В противном случае считают, что гипотезане противоречит опытным данным.

51.5. Критерий проверки гипотезы о равенстве дисперсий

На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов или самих методов измерений. Если окажется, что генеральные дисперсии одинаковы, то различие исправленных дисперсий незначимо и объясняется случайными причинами.

Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезуо равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей

при конкурирующей гипотезе

,

следует вычислить отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, т.е.

учитывая, что .

По таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости и числам степеней свободы, учитывая, что– число степеней свободы большей дисперсии, найти критическую точку

Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

51.6. Критерий сравнения двух выборочных средних

Сравнение двух выборочных средних из нормальных совокупностей.

Проверяется гипотеза , где– математическое ожидание первой генеральной совокупности, а– математическое ожидание второй генеральной совокупности.

Применение критерия сравнения двух выборочных средних при известных дисперсиях предусматривает вычисление статистики

В случае принадлежности наблюдений нормальным законам статистика Z подчиняется стандартному нормальному закону. По таблице функции Лапласа необходимо найти критическую точку по равенству

Если , то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезуо равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями.

Сравнение двух средних нормальных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы.

По выборкам малого объема невозможно получить хорошие оценки генеральных дисперсий. В этом случае, если есть основания предположить, что генеральные дисперсии равны между собой, то можно воспользоваться критерием Стьюдента (сравнения средних).

Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу

при конкурирующей гипотезе , следует вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости и числу степеней свободынаходят критическую точку.

Если , то отвергнуть нулевую гипотезу нет оснований.