21.2. Интегрирование рациональных дробей

Рассмотрим методы интегрирования элементарных дробей.

Первый и третий типы интегралов от элементарных дробей приводятся к табличным подстановкой

Второй тип интегралов очень часто встречаются на практике. Из трехчлена в знаменателе выделяют полный квадрат

Рассмотрим применение выше приведенных формул на примере:

Рассмотрим еще один пример:

Контрольные вопросы

1. Любой ли многочлен можно представить в виде произведения?

2. Сформулировать метод отыскания коэффициентов разложения рациональной функции.

3. Перечислить основные методы интегрирования элементарных дробей.

Лекция №22. Интегрирование тригонометрических функций

22.1. Интегрирование методом замены переменной.

22.2. Интегрирование по частям.

22.3. Интегрирование с помощью универсальных подстановок.

22.1. Интегрирование методом замены переменной

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной.

В приложениях важное значение имеют интегралы

где целые неотрицательные числа.

Различают два случая:

1. хотя бы один из показателей илиесть число нечетное;

2. оба показателя и есть числа четные.

В первом случае интеграл берется непосредственно.

Рассмотрим пример. Найти

Последовательно полагаем

Во втором случае для вычисления интеграла используют формулы двойного аргумента

Рассмотрим пример. Найти

Имеем

Важное значение имеют интегралы вида

Данные интегралы вычисляются на основании формул тригонометрии:

Рассмотрим пример. Найти

22.2. Интегрирование по частям

Интегралы от обратных тригонометрических функций находят с помощью метода интегрирования по частям, так как среди табличных интегралов нет интегралов от обратных тригонометрических функций.

Рассмотрим пример. Найти

22.3. Интегрирование с помощью универсальных подстановок

Интегралы вида

где рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью универсальной подстановки

В этом случае

Интегралы вида

где рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной с помощью упрощенной подстановки

при этом

Рассмотрим пример:

Рассмотрим пример:

Рассмотрим пример:

Рассмотрим пример:

Контрольные вопросы

1. В каких случаях применяют метод замены переменной в интегрировании?

2. С помощью какого метода находят интегралы от обратных тригонометрических функций?

3. С помощью, какой универсальной подстановки находят интегралы, содержащие тригонометрические функции?

Лекция№23.Интегрирование иррациональных функций

23.1. Линейные и дробно-линейные иррациональности.

23.2. Квадратичные иррациональности.