Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая линия, пересекающая ось в точкеи образующая уголс положительным направлением оси

Коэффициент называется угловым коэффициентом прямой. В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси .

Рис. 10

Прямая на плоскости

Уравнение прямой в отрезках.

Прямая линия, пересекающая ось в точкеи осьв точке

В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

Нормальное уравнение прямой.

где — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а— угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением осии направлением этого перпендикуляра. Если, то прямая проходит через начало координат, а угол

задаёт угол наклона прямой.

Вывод нормального уравнения прямой.

Пусть дана прямая ,тогда

Рассмотрим для этого перпендикуляра его орт

Допустим, что угол между и осьюравенТак как

,

то можно записать . Теперь рассмотрим произвольную точку. Проведем радиус-вектор, найдем проекциюна вектор.

следовательно,

это и есть нормальное уравнение прямой.

Пусть дана прямая L. Тогда и. Рассмотрим для этого перпендикуляра его орт. Допустим что угол междуи осью X равенθ. Так как , то можно записать:. Теперь рассмотрим произвольную точку. Проведем радиус-векторТеперь найдем проекциюна вектор.следовательно:Это и есть нормальное уравнение прямой■

Если прямая задана общим уравнением

,

то отрезки и, отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент, расстояние прямой от начала координат,ивыражаются через коэффициенты следующим образом

Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие . В этом случаеиявляются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если, то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки и

или

Векторно-параметрическое уравнение прямой задается вектором конец которого лежит на прямой и направляющим вектором прямой. Параметрпробегает все действительные значения

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде

где — произвольный параметр,— координатыинаправляющего вектора прямой, при этом

Смысл параметра аналогичен смыслу параметруа в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение получается из параметрических уравнений делением одного уравнения на другое

где — координатыинаправляющего вектора прямой,икоординаты точки, принадлежащей прямой.

7.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Взаимное расположение точек и прямых на плоскости.

Три точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие

Отклонение точки от прямойможет быть найдено по формуле

Знак перед радикалом противоположен знаку С. Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой. Расстояние от точки до прямой – величина положительная, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательная, если расположены по одну сторону.

Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости.

Две прямые, заданные уравнениями

или

пересекаются в точке