23.1. Линейные и дробно-линейные иррациональности

Рассмотрим интеграл вида

где постоянные,рациональная функция относительно своих двух аргументов. Тогда вся подынтегральная функция, рассмотренная как сложная функция отбудет из-за наличия радикала иррациональной. Для рационализации этого интеграла совершим подстановку

Полученная функция является рациональной.

Аналогичным образом, интеграл

где рациональная функция от своих аргументов, переходит в интеграл от рациональной функции после подстановкис соответственно подобранным

Рассмотрим пример:

=

Рационализация интеграла

где рациональная функция, осуществляется с помощью подстановки

Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью определенных подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.

Интеграл вида

где рациональная функция,постоянные,целые положительные числа,приводится к интегралу от рациональной функции новой переменнойс помощью подстановки

где число наименьшее общее кратное знаменателей дробей

т.е.

Интеграл вида

приводится к интегралу от рациональной функции новой переменной с помощью подстановки

Рассмотрим пример:

Рассмотрим еще один пример:

Интеграл вида

где постоянные, отличные от нуля,рациональные числа, можно привести к интегралу от рациональной функции с помощью подстановок Чебышева в трех случаях:

1. если целое число, то имеем случай интегрирования простейших иррациональных функций;

2. если

- целое число, то применяется подстановка

;

3. если

- целое число, то используется подстановка

Рассмотрим пример:

Так как то

- целое число. Тогда

23.2. Квадратичные иррациональности

Интеграл вида

где рациональная функция относительно своих аргументов, всегда выражается через элементарные функции. При вычислении такого интеграла часто применяются тригонометрические подстановки. Для этого следует произвести дополнение до полного квадрата, в результате чего получится

где постоянные. Затем делается подстановка

в случае ;

в случае ;

в случае

После этого корни извлекаются, и получается интеграл вида

где новая рациональная функция относительно своих аргументов.

Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности

с помощью дополнения квадратного трехчлена до полного квадрата сводится к одному из двух интегралов

Первый интеграл

решается с помощью подстановки Эйлера

где новая переменная. После преобразований получим

Таким образом,

Интеграл второго вида

Рассмотрим пример:

Рассмотрим пример:

Контрольные вопросы

1. Для всякой ли иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции?

2. При вычислении, каких интегралов применят тригонометрические подстановки?

3. Записать подстановки Чебышева. В каких случаях применят данные подстановки?

Лекция №24. Определенный интеграл

24.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

24.2. Определение определенного интеграла.

24.3. Свойства определенного интеграла. Теорема существования Коши.

24.4. Формула Ньютона-Лейбница.