19.2. Неопределенный интеграл и его свойства

Совокупность всех первообразных к функции называется неопределенным интегралом от функции

Функция называетсяподынтегральной функцией, переменной интегрирования.

Другими словами, неопределенный интеграл – это общая первообразная, содержащая произвольную постоянную, при каждом численном значении которой получается частная первообразная.

Восстановление функции по ее производной (отыскание неопределенного интеграла) называется интегрированием этой функции. Интегрирование – операция обратная дифференцированию.

Из определения неопределенного интеграла вытекают его свойства.

1)Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2)Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3)Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, т.е. если то

4)Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

19.3. Таблица основных интегралов

Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и таблицы производных. В таблице произвольная постоянная,– функция от переменнойчисло.

Таблица 6

Неопределенный интеграл	Первообразная	Неопределенный интеграл	Первообразная
Неопределенный интеграл	Первообразная	Неопределенный интеграл	Первообразная
			+

Рассмотрим основные методы интегрирования.

Метод непосредственного интегрирования основан на непосредственном использовании формул таблицы интегралов и свойств неопределенного интеграла.

Заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим пример. Требуется найти значение интеграла

На основе известной формулы дифференцирования

можно сделать вывод, что искомый интеграл равен гденекоторое постоянное число. С другой стороны,

Окончательно можно сделать вывод:

В отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. При нахождении первообразной следует в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Метод непосредственного интегрирования применим только для весьма ограниченных классов функций. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.

19.4. Интегрирование методом замены переменной

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, т.е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называют методом подстановки или методом замены переменной.

Данный метод основан на теореме: пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке и пустьмножество значений этой функции, на котором определена функция. Тогда на множествефункцияимеет первообразную, на множествесправедлива формула

Пусть первообразная дляна множествеРассмотрим на множествесложную функциюПо правилу дифференцирования сложной функции, учитывая, что

получаем

т.е. функция имеет на множествепервообразную, следовательно

Замечая, что

.

Рассмотрим пример. Найти неопределенный интеграл

Сделаем замену Получим

Рассмотрим еще один пример. Найти интеграл

Сделаем замену Получим

Пример. Найти интеграл

Сделаем замену Получим

Рассмотрим пример. Найти интеграл и проверить ответ дифференцированием

Проверим

Рассмотрим пример. Найти интеграл и проверить ответ дифференцированием

Проверим

Рассмотрим пример. Найти интеграл

Рассмотрим пример. Найти интеграл

Контрольные вопросы

1. Какая функция называется первообразной?

2. Что представляет собой неопределенный интеграл?

3. Какими свойствами обладает неопределенный интеграл?

4. Какова идея метода замены переменной?

Лекция №20. Интегрирование по частям

20.1. Интегрирование по частям.

20.2. Интеграл от функций, содержащих квадратный трехчлен.