49.2. Статистическое распределение выборки

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот (или относительных частот).

Пример: задано распределение частот выборки объема n=20

	2	6	12
	3	10	7

заметим, что . Записать распределение относительных частот.

Решение: относительнаячастота появления случайной величины рассчитывается по формуле

тогда

Запишем статистическое распределение выборки как перечень вариант и соответствующих им относительных частот

	2	6	12
	0,15	0,5	0,35

Сделаем проверку

.

49.3. Эмпирическая функция распределения

Статистическое распределение можно задавать в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот.

Если в основании группировки лежит качественный признак, то количество групп равняется количеству значений этого признака. Если в основании группировки лежит количественныйпризнак, то число групп и величина равных интервалов определяется по формуле Стерджеса

где R – размах выборки, n – объем выборки. Размах выборки равен разности между наибольшим и наименьшим значением наблюдаемых вариант выборки

Частота, соответствующая интервалу, принимает значение, равное сумме частот, попавших в этот интервал.

Введем обозначения: число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее ; n – общее число наблюдений (объем выборки).

Относительная частота события будет равна . Если изменяется, то изменяется и относительная частота, т.е. относительная частота– функция отх. Так как эта функция находится опытным (эмпирическим) путем, то ее называют эмпирической

Чтобы найти, например, надо число вариант, меньших, разделить на объем выборки

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения.

Теоретической функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее , т.е.

Различие между теоретической и эмпирической функциями распределения состоит в том, что теоретическая функция распределения определяет вероятность события Х<x, а эмпирическая функция распределения определяет относительную частоту этого же события.

Согласно теоремы Бернулли, относительная частота события Х<x (т.е. мало отличается от вероятности этого события при больших n). Другими словами, при больших n числа имало отличаются одно от другого в том смысле, что

.

Вывод: целесообразно использовать эмпирическую функцию распределениявыборки для приближенного представления теоретической функции распределениягенеральной совокупности.

Такой вывод подтверждается тем, что обладает всеми свойствами. Действительно, из определения эмпирической функции распределения вытекают следующие ее свойства:

1. значение эмпирической функции принадлежат отрезку ;

2. –неубывающая функция;

3. если – наименьшая варианта, топри; еслинаибольшая варианта, топри.

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Рассмотрим пример. Записать эмпирическую функцию распределения по данному распределению выборки

	2	6	10
	12	18	30

Решение:

т.е.