17.3. Теорема о смешанных производных

Аналогично определяются частные производные третьего и более высоких порядков. Частные производные иназываютсясмешанными. Значения смешанных производных равны в тех точках, в которых эти производные непрерывны.

Рассмотрим пример.

Найти частные производные второго порядка функции

Вначале найдем производные первого порядка

Продифференцируем еще раз

17.4. Производная по направлению

Рассмотрим функцию определенную в некоторой окрестности точки и произвольный единичный вектор

Рис. 34

Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения функции в точке в направлении векторавведем понятие производной по направлению. Для этого проведем через точкупрямуютак, чтобы одно из направлений на ней совпадало с направлением вектора, возьмем на направленной прямой точкуОбозначим величину отрезкачерезт.е.если точкарасположена так, как показано на рисунке иесли точкарасположена по другую сторону от точкиФункцияполучит при этом приращение

Предел отношения приесли он существует, называетсяпроизводной функции в точкепо направлению вектораи обозначается

Предположим, что функция дифференцируема в точкеТогда ее приращение вдоль прямойможно записать в виде

где бесконечно малые функции при

Учитывая, что

получим

Переходя к пределу в этом равенстве при получаем формулу дляпроизводной по направлению

Градиентом функции в точке называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производнымивзятым в точке

Так как

или

Градиент функции в точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.

Контрольные вопросы

1. Дать определение функции многих переменных.

2. Что называют областью определения функции многих переменных?

3. Как находят частные производные и дифференциалы первого и высших порядков.

4. Сформулировать теорему о смешанных производных.

5. Что называют градиентом функции?

Лекция №18. Экстремум функции двух переменных

18.1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

18.2. Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных.

18.3. Условный экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения

функции на замкнутом множестве.

18.4. Метод множителей Лагранжа.

18.1. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Если поверхность задана уравнением тоуравнение касательной плоскости в точке к данной поверхности

а каноническое уравнение нормали, проведенной через точку поверхности

В случае, когда уравнение поверхности задано в неявном виде

то уравнение касательной плоскости в точке имеет вид

а уравнение нормали

Рассмотрим пример.

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке

Необходимо вычислить значения частных производных в заданной точке

Подставив в формулу уравнения касательной плоскости, получим уравнение

Подставив в формулу уравнения нормали плоскости, получим уравнение

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции

если для всех точек отличных оти принадлежащих достаточно малой окрестности, выполняется неравенство

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка, в которой достигается экстремум функции, называется точкой экстремума функции.