7.3. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Угол между пересекающимися прямыми определяется по формуле

При этом под углом понимается угол, на который надо повернуть первую прямую, заданную параметрами, вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Прямые параллельны, если или

Прямые перпендикулярны, если или

Любую прямую, параллельную , можно выразить уравнением, при этом расстояние между ними будет равно

Если знак перед радикалом противоположен тобудет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые

пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Если ито прямые

перпендикулярны.

Рассмотрим пример. Две прямые заданы уравнениями

найти угол между данными прямыми.

Так как

Рассмотрим пример. Задана прямая

Составить для этой прямой уравнение в отрезках и при желании построить ее.

Преобразуем исходное уравнение прямой

разделим обе части уравнения на (-15)

Прямая проходит через точки и

Контрольные вопросы

1. Дать определение уравнения линии на плоскости.

2. Перечислить и записать уравнения прямой линии. Пояснить геометрический смысл коэффициентов каждого уравнения.

3. Как найти угол между прямыми?

4. Назвать условия параллельности и перпендикулярности прямых.

5. Записать формулу нахождения расстояния от точки до прямой.

Лекция №8. Линии второго порядка

1. Каноническое уравнение окружности и ее основные характеристики.

2. Каноническое уравнение эллипса и его характеристики.

3. Каноническое уравнение гиперболы и ее характеристики.

4. Каноническое уравнение параболы и ее характеристики.

5. Исследование кривых второго порядка.

8.1. Каноническое уравнение окружности и ее основные характеристики

Кривые второго порядка описываются уравнениями второй степени с двумя переменными

если по крайней мере одна из величин не равна нулю.

Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Если радиус окружности, а точка ее центр, то уравнение окружности имеет вид

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение примет вид

Рис. 11

Окружность с центром в начале координат

Взаимное расположение точки и окружности определяется условиями:

1. если то точкалежит на окружности;

2. если то точкалежит внутри окружности;

3. если то точкалежит вне окружности.

Рассмотрим пример. Найти координаты центра и радиус окружности

Приведем уравнение окружности к общему виду. Для этого сгруппируем слагаемые, содержащие переменную и слагаемые, содержащие переменную

Выражения в каждой из скобок разложим до полного квадрата

Таким образом, определяем координаты центра окружности и ее радиус

Рассмотрим пример. Составить уравнения касательных к окружности

проведенных в точках пересечения окружности с прямой

Найдем точки пересечения окружности и прямой, для чего решим систему уравнений

и точки пересечения окружности и прямой.

На координатной плоскости построим окружность и прямую.

Рис. 12

Касательная к окружности

Запишем уравнение прямой, проходящей через точку

- это касательная к окружности, следовательно, она перпендикулярна радиусу т.е. прямой Запишем уравнение прямойучитывая, что

Получили искомое уравнение прямой Запишем угловой коэффициент данной прямой

Прямая, проходящая через точку перпендикулярна прямойследовательно ее угловой коэффициент

Запишем полностью уравнение искомой прямой

- это есть уравнение касательной, проходящей через точку

Найдем уравнение касательной в точке Запишем уравнение прямойесли

- уравнение прямой Угловой коэффициент данной прямой равен

тогда

Уравнение искомой прямой находим в виде

- это уравнение касательной в точке