6.3. Свойства собственных векторов матрицы

Свойства собственных чисел и собственных векторов.

1) Если выбрать базис из собственных векторов соответствующих собственным значениямматрицыто в этом базисе линейное преобразованиеимеет матрицу диагонального вида

2) Если собственные значения преобразования различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

3) Если характеристический многочлен матрицы имеет три различных корня, то в некотором базисе матрицыимеет диагональный вид.

Рассмотрим пример. Найдем собственные числа и собственные векторы матрицы

Составим характеристическое уравнение

Найдем координаты собственных векторов, соответствующих каждому найденному значению Еслисобственный вектор, соответствующийто

- совместная, но неопределенная система. Ее решение можно записать в виде

где любое число.

Если то получим систему для определения координат второго собственного вектора

откуда

Для найдем собственный вектор

откуда

Следует заметить, что

Вывод: собственные векторы этой матрицы попарно ортогональны.

Контрольные вопросы

1. Какая матрица называется матрицей линейного преобразования?

2. Как определить зависимость между координатами вектора в разных базисах?

3. Какой вектор называют собственным вектором матрицы?

4. Перечислить основные свойства собственных чисел и собственных векторов.

Лекция №7. Уравнение линии на плоскости

7.1. Прямая линия и различные формы ее уравнений на плоскости.

7.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.

7.3. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

7.1. Уравнение линии на плоскости. Прямая линия и различные формы ее уравнений на плоскости

Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой–либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат.

Уравнением линии называется соотношение между координатами точек, составляющих эту линию.

Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.

Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

Свойства прямой в евклидовой геометрии.

1) Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

2) Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными.

3) Прямая линия — алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

,

причем, постоянные не равны нулю одновременно, т.е.

Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных возможны следующие частные случаи:

- – прямая проходит через начало координат;

- прямая параллельна оси

- – прямая параллельна оси

- – прямая совпадает с осью

- – прямая совпадает с осью

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде, в зависимости от каких-либо заданных начальных условий.