12.1. Определение функции. Функциональная зависимость. Область определения функции и способы ее задания

При изучении закономерностей, встречающихся в природе, все время приходится иметь дело с величинами постоянными и переменными.

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение (параметр).

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Например, диаметр окружности может принимать различные значения, т.е. является величиной переменной. Отношение длины окружности к ее диаметру называемое числом величина постоянная.

Изучая какое-нибудь явление, мы имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные или функции).

Понятие функции является одним из центральных понятий высшей математики.

Переменная величина называется функцией от переменной величины если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению величины соответствует единственное вполне определенное значение величиныЭто определение впервые сформулировал Н.И. Лобачевский.

Переменная называетсяаргументом или независимой переменной, зависимая переменная. Переменныенаходятся в функциональной зависимости.

Область определения (существования) функции – это совокупность всех значений независимой переменной при которых функция не теряет своего смысла. Часто область определения представляет собой интервалили отрезок

Обозначения характеристика функции. Частное значение функции призаписывается так

Рассмотрим пример. Найти область определения функции

Функция определена, если выполняется неравенство

Рис. 24

Следовательно т.е. область определения исследуемой функции есть отрезок.

Существует несколько способов задания функции.

Аналитический способ, если функция задана формулой вида Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функциязадана аналитически.

Не следует путать функцию с ее аналитическим выражением. Например, одна функция

имеет два аналитических выражения: (при) и(при).

Например, формула объема шара – функции от радиуса

Если функция задана формулой, то ее характеристикаобозначает ту совокупность действий, которую нужно в определенном порядке произвести над значением аргументачтобы получить соответствующее значение функции

Рассмотрим пример. Дана функция

требуется найти

Подставим значение аргумента в функцию

Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции

Предположим, что требуется установить зависимость между средней годовой температурой и высотой местностинад уровнем моря, выраженной в километрах. В этом случае результаты наблюдений записываются в таблицу (табл.4).

Таблица 4

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
	+7,9	+4,6	+0,1	-5,0	-10,7	-16,9	-23,7	-30,8	-38,0

Из приведенной таблицы видно, что средняя годовая температура изменяется вместе с высотой местности над уровнем моря. Вывод: средняя годовая температура есть функция высоты местностинад уровнем моря.

Если функция задана аналитически, то ее всегда можно представить при помощи таблицы.

Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргументаа ординаты – соответствующие им значения функции

Отсутствие наглядности в аналитическом и табличном способах устраняет графический способ задания функции. Примером графического изображения функции является барограмма (запись самопишущего прибора барографа), дающая графически изменения атмосферного давления со временем.

Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: если -рационально;если-иррационально.