9.1. Плоскость и ее уравнения

В прямоугольной системе координат задана произвольная плоскость

Рис. 21

Плоскость

Точка принадлежит плоскости Векторперпендикулярный вектор плоскостиВекторназывают нормальным вектором плоскости.

Произвольная точка будет принадлежать плоскоститогда и только тогда, когда векторыиперпендикулярны.

Вектор имеет координатыЗапишем условие перпендикулярности двух векторов

• это есть уравнение плоскости.

9.2. Общее уравнение плоскости и его частные виды

Раскроем скобки, проведем некоторые преобразования и получим общее уравнение плоскости

Пусть тогда

Плоскость является поверхностью первого порядка, так как определяется уравнением первой степени.

Рассмотрим пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Так как уравнение имеет вид

то согласно данным задачи имеем

Подставим в уравнение плоскости

- это есть искомое уравнение плоскости.

9.3. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Угол между двумя плоскостями.

Рассмотрим две плоскости и

Один из углов между этими плоскостями равен углу между их нормальными векторами и

второй угол равен

Условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Плоскости параллельны, если их нормальные векторы и коллинеарны

Плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их нормальные векторы, т.е.

9.4. Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости.

Рассмотрим произвольную плоскость

Рис. 22

Плоскость

Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную плоскости данную прямую называют нормалью. Точка точка пересечения нормали и плоскостиВведем направление от точкик точкеуглы между нормалью и осями координат;единичный вектор нормали

Пусть точка произвольная точка, которая принадлежит плоскости тогда и только тогда, когдато есть

Уравнение всякой плоскости может быть записано в виде

где нормальный вектор плоскости

Для приведения данной плоскости к нормальному виду надо все члены уравнения умножить на нормирующий множитель

Знак зависит от знакаеслитоесли

то

Расстояние от произвольной точки до плоскости.

Пусть имеется точка и плоскость

тогда расстояние от точки до плоскости находится по формуле

Уравнение плоскости в отрезках.

Если в общем уравнении плоскости

разделить все члены уравнения на то получим уравнение плоскости в отрезках

где - отсекаемые на осях отрезки.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Рассмотрим пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки перпендикулярно плоскости

Контрольные вопросы

1. Дать определение уравнения поверхности в ортогональной системе координат.

2. Записать уравнения плоскости: общее, в отрезках на осях, через три заданные точки. Пояснить их смысл.

3. Как найти угол между плоскостями?

4. Как привести уравнение плоскости к нормальному виду?

Лекция №10. Прямая в пространстве и ее уравнения

10.1. Уравнение прямой в пространстве.

10.2. Условия параллельности и перпендикулярности, прямых в пространстве.

10.3.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.