27.1. Постановка задачи интегрирования функции многих переменных

В данной лекции рассматриваются вопросы, связанные с интегрированием функций нескольких переменных. В отличие от случая одной переменной здесь не удастся ввести простого понятия первообразной и неопределенного интеграла. В то же время определенный интеграл вводится аналогично: интегрирование рассматривается как «суммирование бесконечного числа бесконечно малых величин».

Пусть некоторая замкнутая ограниченная область, апроизвольная функция, определенная и ограниченная в этой области.

Предполагается, что граница области состоит из конечного числа кривых, заданных уравнениямиилигдеинепрерывные функции. Такой областью, например, является замкнутый многоугольник, граница которого состоит из конечного числа отрезков, представляющих собой графики непрерывных функцийили

Разобьем область произвольно начастей, не имеющих общих внутренних точек, с площадямиВ каждой частивыберем произвольную точкуи составим сумму

которую назовем интегральной суммой для функции в области

Рис. 47

Замкнутая ограниченная область

27.2. Двойной интеграл и его свойства

Если интегральная сумма

при имеет предел, равный числуто этот предел называется двойным интегралом от функции по областии обозначается

где функция называется интегрируемой в области область интегрирования,переменные интегрирования,элемент площади. В данном случае предполагается, чтоограничена, что является необходимым условием интегрируемости.

Для нахождения достаточных условий интегрируемости, как и в случае с одной переменной, удобно воспользоваться теорией сумм, которая полностью переносится на случай двойного интеграла.

Функция непрерывная в замкнутой ограниченной области интегрируема в этой области.

Не следует считать, что двойной интеграл существует только для непрерывных функций.

Функция ограниченная в замкнутой ограниченной области и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функцийилиинтегрируема в этой области.

Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла.

1)Если произвольное число и функция интегрируема в областито функциятоже интегрируема в области

т.е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

2)Если функции и интегрируемы в области то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области

3)Если область является объединением областей ине имеющих общих точек, в каждой из которых функцияинтегрируема, то в областиэта функция также интегрируема

4)Если функция непрерывна в областито в этой области найдется такая точкачто

где площадь фигуры

27.3. Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования

Вычисление двойного интеграла

сводится к вычислению одного или нескольких двукратных интегралов

или

каждый, из которых есть результат последовательного вычисления двух обыкновенных определенных интегралов. Пределы при первом интегрировании являются переменными, зависят от той переменной, которая при этом рассматривается как постоянная. Пределы при втором интегрировании всегда постоянны.

Рассмотрим пример. Вычислить двойной интеграл

Сначала вычисляем внутренний интеграл, где является переменной, апостоянной

Правила вычисления двойных интегралов.

Различают два основных вида области интегрирования.

1)Область интегрирования ограничена слева и справа прямымииа снизу и сверху – непрерывными кривымиикаждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке. Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

Рис. 48

Область, ограниченная прямыми

2)Область интегрирования ограничена снизу и сверху прямыми иа слева и справа – непрерывными кривымиикаждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке. Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

Рис. 49

Область, ограниченная прямыми

В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным областям. Интеграл по исходной области заменяется равной ему суммой интегралов по ее частям, а каждый из полученных интегралов вычисляется по формуле

или

Например, если левая или правая линии границы будут состоять из нескольких участков с различными уравнениями, то область следует разбить прямыми, параллельными оси на части, где левая и правая линии границы определялись каждая одним уравнением. Таким образом, двойной интеграл по областисводится к двум двукратным интегралам

Рис. 50

Область интегрирования

Если окажется, что нижняя или верхняя линия границы состоит из нескольких участков, имеющих различные уравнения, то область следует разбить прямыми, параллельными осина части, в каждой из которых нижняя и верхняя линии определялись бы только одним уравнением. Тогда вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух двукратных интегралов

Рис. 51

Область интегрирования

Рассмотрим пример. Вычислить двойной интеграл

если область ограничена прямой и параболой

Построив данные линии между точками их пересечения получим параболический сегмент

Рис. 52

Параболический сегмент

Если вначале интегрировать по а затем по то двойной интеграл по этой области выражается двукратным интегралом

Точки (с наибольшей и наименьшей ординатами) разбивают границу области на левую и правуюлинии, каждая из которых определяется уравнением

Вычисляя двукратный интеграл, получим

Если интегрировать в другом порядке – сначала по а затем пото необходимо разбить область интегрирования прямойпараллельно осина две части, так как нижняя линия границы состоит из двух участков, которые имеют различные уравнения

Вследствие этого вычисления несколько усложняются

Рассмотрим пример. Изменить порядок интегрирования в интеграле

Вначале по пределам интегрирования определяем область интегрирования. Полагая равным пределам интеграла с переменнойаравным пределам интеграла с переменнойполучим уравнения линий, ограничивающих эту область

Рис. 53

Параболический сегмент

Построив эти линии, получим параболический сегмент симметричный оси

Интегрируем вначале по затем поПределы внутреннего интеграла находим, разрешая относительноуравнение параболы

Пределы внешнего интеграла находим как наименьшее и наибольшее значения по всей областиСледовательно

Двойной интеграл в полярных координатах.

В приложениях двойных интегралов к геометрическим и физическим задачам во многих случаях для упрощения вычислений полученный двойной интеграл, отнесенный к прямоугольным координатам, преобразуется к полярным координатам с помощью определенного правила. Правило следующее, для преобразования двойного интеграла, отнесенного к прямоугольным координатам, в двойной интеграл в полярных координатах нужно в подынтегральном выражении прямоугольные координаты заменить полярными

При этом уравнения линий, ограничивающих область интегрирования, также преобразуются к полярным координатам.

Если область ограничена двумя лучами игдеоднозначные функции при

то двойной интеграл вычисляется по формуле

Переход в двойном интеграле к полярным координатам удобно использовать в тех случаях, когда подынтегральная функция зависит от или ота также в тех случаях, когда граница области содержит дуги окружностей и лучи, выходящие из начала координат.

Рассмотрим пример. Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойной интеграл

где круговое кольцо, заключенное между окружностями

Рис. 54

Круговое кольцо

Пользуясь указанными правилами, получим

Контрольные вопросы

1. Сформулировать задачу интегрирования функции многих переменных.

2. Дать определение двойному интегралу.

3. Перечислить основные свойства двойного интеграла.

4. Какими способами интегрируют двойные интегралы?

Лекция №28. Приложения двойного интеграла

28.1. Геометрический смысл двойного интеграла.

28.2. Физические приложения двойного интеграла.