32.2. Однородные дифференциальные уравнения.

Понятие однородного дифференциального уравнения связано с однородными функциями. Функция называется однородной степенипо переменнымиесли для произвольного числавыполняется равенство

для любого при котором функцияопределена,

Например, функция

является однородной четвертого измерения так как

Дифференциальное уравнение в нормальной форме

называется однородным относительно переменных если-однородная функция нулевого измеренияотносительно своих аргументов, т.е.

Дифференциальное уравнение в дифференциальной форме

Будет однородным в том и только в том случае, когда и-однородные функции одного и того же измереният.е.

Переписав его в нормальной форме

можно сказать, что-однородная функция нулевого измерения, поскольку

Так как однородное дифференциальное уравнение

в нормальной форме всегда можно записать в виде

то, положив получим

Следовательно, уравнение

с помощью замены сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительнои

Рассмотрим пример. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

и найти его частное решение, удовлетворяющее начальному условию

Так как функции иоднородные второго измерения, то данное уравнение однородное. Сделаем замену Тогда

Предполагая, что сокращаем обе части уравнения наДалее получаем

Разделяя переменные, последовательно находим

Решив его относительно найдем общее решение исходного дифференциального уравнения

Используя начальное условие определим значение

Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид

Контрольные вопросы

1. Какой вид имеют линейные дифференциальные уравнения первого порядка?

2. Каким методом можно решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка?

3. Какое решение дифференциального уравнения называют общим, а какое – частным?

4. Что значит решить задачу Коши с геометрической точки зрения?

Лекция №33. Дифференциальные уравнения высших порядков

33.1. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение степени.

33.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

33.1. Дифференциальные уравнения второго порядка,

допускающие понижение степени.

Уравнение вида

где независимая переменная,искомая функция, ее производные,называется дифференциальным уравнением второго порядка.

Уравнения, разрешенные относительно второй производной в общем виде можно записать

Так же как и для дифференциального уравнения первого порядка, решением уравнения

называется функция которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Для уравнения второго порядка имеет место теорема существования и единственности решения – теорема Коши.

Если функция и ее частные производныеиопределены и непрерывны в некоторой областипространства переменных, то какова бы ни была внутренняя точкаобластив некоторой окрестности точкисуществует единственное решение уравнения

удовлетворяющее условиям

при

Геометрически это означает, что через заданную точку плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентомкасательной в этой точке.

Задачу отыскания решения по заданным начальным условиям называют задачей Коши.

Функция называетсяобщим решением уравнения в некоторой областиесли она является решением данного уравнения при любых значениях постоянныхии если при любых начальных условияхприсуществуют единственные значения постоянныхтакие, что функцияудовлетворяет данным начальным условиям.

Любая функция получающаяся из общего решенияуравненияпри определенных значениях постоянныхназываетсячастным решением.

Рассмотрим пример. Найти решение дифференциального уравнения

Общее решение данного уравнения найдем двукратным последовательным интегрированием. Последовательно интегрируя, находим сначала первую производную

а затем и общее решение

.

Рассмотрим те случаи, когда решение уравнения

с помощью замены переменной сводится к решению уравнения первого порядка. Такое преобразование называется понижением порядка.

Уравнение вида

Уравнение не содержит иВведем новую функциюполагаяТогдаи уравнение превращается в уравнение первого порядкас искомой функциейРешая его, находим

Так как то

Отсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое решение

где ипроизвольные постоянные.

Рассмотрим пример. Найти общее решение уравнения

Полагая получаем уравнение первого порядкаИнтегрируя его, найдем

Заменяя наи интегрируя еще раз, находим искомое общее решение

Уравнение вида

Уравнение не содержит Положимтогдаи уравнение преобразуется в уравнение первого порядка относительно

Решая его, найдем

Так как , тоОтсюда, интегрируя еще раз, получаем искомое решение

где ипроизвольные постоянные.

Рассмотрим пример. Найти общее решение уравнения

Понизим порядок этого уравнения, пусть получим однородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции

Решаем его с помощью подстановки Тогда

и уравнение принимает вид

Разделяя переменные и интегрируя, последовательно находим

Так как то последнее уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка, которое решается однократным интегрированием

Получили общее решение исходного дифференциального уравнения.

Рассмотрим пример. Найти общее решение уравнения

Вводим новую функцию и получаем из исходного уравнения линейное уравнение

Сделаем замену

Так как то приходим к дифференциальному уравнению

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка в теории дифференциальных уравнений занимают важное место не только потому, что представляют собой простой и хорошо изученный тип уравнений, но и потому, что многие практические задачи физики, техники и особенно электротехники приводят к решению этих уравнений.