49.4. Полигон и гистограмма

Полигон – ломаная, отрезки которой соединяют точки

.

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты. Точкисоединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму. Для этого необходимо интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбить на несколько частичных интервалов длиной h и найти для каждого частичного интервала – сумму частот вариант, попавших вi-й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты). Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии.

Площадь i-го частичного прямоугольника равна

сумме частот вариант I-го интервала, т.е. площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению

- плотность относительной частоты.

Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Контрольные вопросы

1. Какую совокупность случайно отобранных объектов называют генеральной?

2. Дать определение статистического распределения выборки.

3. В чем различие между теоретической и эмпирической функциями распределения?

4. Дать определение гистограммы относительных частот.

5. Чему равна площадь гистограммы относительных частот? (ответ пояснить).

Лекция №50. Статистические оценки параметров распределения

50.1. Определение статистических оценок параметров распределения.

50.2. Виды статистических оценок параметров распределения.

50.3.Надежность статистических оценок параметров распределения.

50.1. Определение статистических оценок параметров распределения

Построив вариационный ряд и изобразив его графически, можно получить первоначальное представление о закономерностях, имеющих место в ряду наблюдений, но на практике этого недостаточно. Например, когда необходимо уточнить какие-то сведения о ряде распределения или когда нужно сравнить два ряда.

Пример. Требуется сравнить распределения длин втулок, изготовленных на двух однотипных станках – автоматах. Графики таких распределений имеют почти одинаковый вид, но распределения могут существенно отличаться друг от друга средними значениями случайной величины или рассеиванием данных наблюдений вокруг средних значений.

Для изучения изменения значений случайной величины используют числовые характеристики вариационных рядов (статистические характеристики или оценки), т.е. некоторые постоянные, которые представляют вариационный ряд и отражают присущие изучаемой совокупности закономерности.

К таким постоянным относят:

1. средние величины, вокруг которых концентрируются остальные результаты наблюдений ;

2. показатели вариации или характеристики изменчивости случайной величины – размах варьирования R, среднее квадратическое отклонение , дисперсияи так далее.

Предположим, что требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Если теоретически установлено, что распределение имеет признак, то задача состоит в оценке параметров, которыми определяется это распределение.

Например, если известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо оценить (найти приближенно) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти параметры определяют нормальное распределение. Если признак имеет распределение Пуассона, то стоит оценить параметр , которым это распределение определяется.

Исследователь в своей работе имеет данные выборки (значения количественного признака) , полученные в результатеn наблюдений. Через эти данные выражают оцениваемый параметр. Найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения – это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая дает приближенное значение оцениваемого параметра. Чтобы статистические оценки давали хорошие приближения оцениваемых параметров, они должны быть:

1. эффективными (эффективной называют статистическую оценку, которая при заданном объеме выборки n имеет наименьшую возможную дисперсию);

2. состоятельными (состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру). Требование состоятельности предъявляют к статистическим оценкам, если рассматривают выборки большого объема.