25.2. Физические приложения определенного интеграла

Вычисление пройденного пути по скорости. Если скорость движения материальной точки по некоторой прямой, то путьпройденный ею за промежуток временивычисляется по формуле

Рассмотрим пример. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью

(м/с). Найти путь, пройденный точкой за промежуток времени

Согласно выше приведенной формуле, имеем

Вычисление работы переменной силы. Пусть под действием силы материальная точкадвижется по прямойРабота этой силы на участке путиопределяется по формуле

Рассмотрим пример. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 10 см, если известно, что для удлинения ее на 1 см необходимо приложить силу в 1 .

Согласно закону Гука, сила растягивающая пружину, пропорциональна ее растяжению, т.е.

где растяжение пружины (в метрах),коэффициент пропорциональности. Так как по условию прим сила, то из равенства

Следовательно искомая работа

Вычисление моментов инерции.

С помощью определенного интеграла можно вычислять моменты инерции плоских фигур. Момент инерции материальной точки массой относительно точкиравен произведению массы этой точки на квадрат ее расстояния до точкиМомент инерции системы материальных точек равен сумме моментов инерции всех точек этой системы.

Вычислим момент инерции однородного круга массой и радиусомотносительно его центра.

Рис. 44

Однородный круг заданной массы

Концентрическими окружностями с центром в точке разобъем круг наколец ширинойплощадь каждого из которых

а масса

где плотность

.

Элементарные моменты инерции выделенных колец

Суммируя (интегрируя) элементарные моменты инерции, получим

Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры.

Координаты центра масс плоской материальной дуги графика функции

имеющей линейную плотность определяются по формулам

Если фигура ограничена снизу линией а сверху –т.е.на отрезкеповерхностная плотность фигурыто вычисление ее центра массвыполняется по по формулам

Рассмотрим пример. Вычислить координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной линиями

Рис. 45

Однородная плоская фигура

Из однородности и симметричности данной фигуры следует, что Для определенияследует воспользоваться выше приведенными формулами

25.3. Методы приближенного вычисления определенного интеграла

Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов

Определенный интеграл

от заданной непрерывной функции точно вычисляется далеко не всегда. Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла можно дать ряд приближенных формул, с помощью которых этот интеграл находится с любой степенью точности. Рассмотрим простейшую из них,формулу трапеций.

Рис. 46

Криволинейная трапеция

Определенный интеграл

представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией осьюи двумя прямыми

Разобьем отрезок наравных частей длины

Пусть абсциссы точек деления исоответствующие ординаты кривой. Имеем расчетные формулы

В результате построения криволинейная трапеция разбивается на ряд вертикальных полосок одной и той же ширины каждую из которых приближенно принимают за трапецию.

Суммируя площади этих трапеций, будем иметь

- это есть формула трапеций. Данную формулу можно записать в виде

где приипри

Ошибка

называется остаточным членом формулы трапеций.

Рассмотрим пример. Приближенно вычислить

Разобьем промежуток интегрирования на 10 частейследовательно шаг

Абсциссы точек деления и соответствующие им ординаты

вычисленные с помощью таблицы квадратных корней, сводят в таблицу. Для удобства ординаты умножают на множительтакой, чтоприипри

Таблица 7

0	0,0	0,5000
1	0,1	1,0050
2	0,2	1,0198
3	0,3	1,0440
4	0,4	1,0770
5	0,5	1,1180
6	0,6	1,1662
7	0,7	1,2207
8	0,8	1,2806
9	0,9	1,3454
10	1,0	0,7071
		11,4838

Тогда, согласно формуле

получим

Точное значение интеграла равно

Контрольные вопросы

1. Перечислить геометрические приложения определенного интеграла.

2. Перечислить физические приложения определенного интеграла.

3. Сформулировать методы приближенного вычисления определенного интеграла.

Лекция №26. Несобственные интегралы

26.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

26.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.

26.3. Признак сходимости несобственных интегралов.