41.1. Периодические функции

При изучении разнообразных периодических процессов, т.е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются (встречаются в радиотехнике, электронике, теории упругости, теории и практике автоматического регулирования и т.д.), целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в тригонометрический ряд.

Функция определенная на множестве называется периодической с периодом если при каждомзначениеи выполняется равенство

Для построения графика периодической функции периода достаточно построить его на любом отрезке длиныи периодически продолжать его во всю область определения.

Основные свойства периодической функции.

1)Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период есть периодическая функция с периодом

2)Если функция имеет периодто функцияимеет период

3)Если функция имеет период и интегрируема на отрезкето

при любых и

Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции иПериод этих функций равент.е.

Простейшим периодическим процессом (движением) является простое гармоническое колебание (движение), описываемое функцией

где амплитуда колебания,частота, начальная фаза.

Функцию такого вида называют простой гармоникой. Основным периодом функции

является

т.е. одно полное колебание совершается за промежуток времени

При наложении простых гармоник получается периодическая функция, описывающая сложное периодическое колебание (периодический процесс).

С помощью тригонометрического ряда любую периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются гармоники.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

где действительные числа называются коэффициентами ряда.

Ряд

можно записать в виде

Действительно, положив

получим

ряд

примет вид

при этом

Свободный член ряда записан в виде для единообразия получающихся в дальнейшем формул.

Приведем формулы, которые понадобятся в дальнейшем.

Считая ицелыми положительными числами, получим

41.2. Определение ряда Фурье

Пусть произвольная периодическая функция с периодомПредположим, что функцияразлагается в тригонометрический ряд, т.е.является суммой ряда

Так как функция имеет период то ее можно рассматривать в любом промежутке длиныВ качестве основного промежутка возьмем отрезок(также удобно взять отрезок) и предположим, что ряд

на этом отрезке можно почленно интегрировать. Вычислим коэффициенты идля этого проинтегрируем обе части равенства в пределах отдо

Интегралы от всех, кроме нулевого, членов ряда равны нулю. Отсюда

Умножив обе части равенства

на и проинтегрировав полученный ряд в пределах от до получим

Из последнего равенства при получаем

Отсюда

Аналогично, умножив равенство

на и проинтегрировав почленно на отрезке найдем

Числа называютсякоэффициентами Фурье функции а тригонометрический ряд

с такими коэффициентами – рядом Фурье функции Для интегрируемой на отрезкефункциизаписывают

и говорят, что функции соответствует ее ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначают