13.2. Непрерывность функции в точке и на интервале

Функция называетсянепрерывной в точке если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Функция называется непрерывной в точке если для любой последовательности значений аргумента сходящейся кпоследовательность соответствующих значений функций

сходится к

Функция называется непрерывной в точке если для любого существуеттакое, что для всехудовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство

13.3. Классификация точек разрыва функции

Точка называетсяточкой разрыва функции если в точкене является непрерывной.

Разрыв первого рода.

Точка называется точкой разрыва первого рода функцииесли в этой точке функция имеет конечный левый и правый пределы и они не равны между собой

Разрыв второго рода.

Точка называется точкой разрыва второго рода функции, если в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов.

Рассмотрим пример. Исследовать на непрерывность функцию

в точках

Определим, как ведет себя функция в точке

Найдем значение функции в заданной точке

Найдем предел данной функции при

Так как

то можно сделать вывод, что функции в заданной точке непрерывна.

Определим, как ведет себя функция в точке

В точкенеопределена, следовательно, в точкефункция терпит разрыв, так как одно из условий непрерывности функции нарушено. Определим разрыв, какого рода, т.е. как ведет себя функция в окрестности данной точки слева и справа

В точке функция терпит разрыв второго рода (бесконечный разрыв).

Контрольные вопросы

1. Какая функция называется непрерывной?

2. Назвать виды разрывов функций.

3. Какие функции называют бесконечно малыми, а какие называют бесконечно большими?

4. Записать первый и второй замечательные пределы.

Лекция №14. Производная функции

14.1. Определение производной функции.

14.2. Геометрический и механический смысл производной.

14.3. Основные правила дифференцирования.

14.4. Производная сложной, обратной, параметрически заданной функции.

14.5. Производная показательно-степенной функции. Дифференцирование неявных функций.

14.1. Определение производной функции

Пусть на некотором промежутке Х определена функция . Возьмем любую точку и придадим аргументув точкепроизвольное приращениетакое, что точка

.

Функция получит приращение

Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует

Из определения производной вытекает и способ ее вычисления.

Рассмотрим пример. Найти производную функции в точке

Давая аргументу в точкеприращениенайдем соответствующее приращение функции

Составим отношение

Найдем предел этого отношения при

Следовательно, производная функции в точкеравна числуэто можно записать так

14.2. Геометрический и механический смысл производной

Если кривая задана уравнением тогдеугол, образованный с положительным направлением осикасательной к кривой в точке с абсциссой

Касательной к графику функции в заданной точкеназывают предельное положение секущей приЕсли функцияимеет в точкепроизводную, то существует касательная к графику функциив точке, причем угловой коэффициент этой касательной равен производной.Уравнение касательной к кривой в точкеимеет вид

.

Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания. Уравнение нормали имеет вид

Угол между двумя кривыми и в точке их пересеченияназывается угол между касательными к этим кривым в точкеЭтот угол находится по формуле

Предположим, что функция описывает закон движения материальной точкипо прямой линии, т.е.– путь пройденной точкойот начала отсчета за время

Тогда за время пройден путьа за время– путьЗа промежуток времениточкапройдет отрезок пути

.

Отношение называетсясредней скоростью движения за время , а предел отношенияприопределяетмгновенную скорость точки в момент времени

Рассмотрим пример. Тело, подброшенное вертикально вверх, движется по закону

где высота измеряется в метрах, а времяв секундах. Найти: 1) скорость тела в начальный момент; 2) скорость тела в момент соприкосновения с землей; 3) наибольшую высоту подъема тела.

1. Скорость тела в момент равна производной, т.е.

в момент

2. В момент соприкосновения с землей т.е.

Решая данное уравнение, получим корни данного уравнения

Второй корень уравнения не подходит по смыслу, так как время – величина положительная. Найдем скорость тела в момент времени (скорость тела в данный момент времени противоположна направлению начальной скорости).

3. Наибольшая высота подъема будет в момент, когда скорость тела равна 0 и происходит переход от подъема к падению тела, т.е.Наибольшая высота подъема

Значение производной состоит в том, что при изучении любых процессов и явлений природы с ее помощью можно оценить скорость изменения связанных между собой величин.