12.6. Основные теоремы о пределах функции

1)Пусть функции иимеют в точкепределыиТогда функции

при имеют в точкепределы, равные соответственно

2)Пусть функции определены в некоторой окрестности точкиза исключением точкии функцииимеют в точкепредел, равныйт.е.

Пусть, кроме того, выполняются неравенства

Тогда

Контрольные вопросы

1. Дать определение постоянной и переменной величины.

2. Дать понятие функции одного переменного.

3. Что является областью существования функции?

4. Какие существуют способы задания функции?

5. Дать определение предела функции в точке.

6. Дать определение предела функции в бесконечности.

7. Дать определение правого (левого) предела функции в точке.

8. Назвать виды неопределенностей.

9. Каким образом осуществляется раскрытие неопределенностей?

Лекция №13. Непрерывность функции в точке и на интервале

13.1. Первый, второй замечательные пределы и их применение к раскрытию неопределенностей. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

13.2. Непрерывность функции в точке и на интервале.

13.3. Классификация точек разрыва функции.

13.1. Первый, второй замечательные пределы и их применение к раскрытию неопределенностей. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Первый замечательный предел

Рассмотрим дугу окружности радиуса с центральным углом, радианная мера которого равна

Рис. 30

Дуга окружности

Тогда

или

или

следовательно

Возьмем любое и положим

тогда для всех удовлетворяющих неравенствамбудет выполняться неравенствопоэтому

т.е.

Функция -четная, так как

Поэтому и левый предел функции в точкеравен единице. Отсюда следует, что

С помощью первого замечательного предела вычисляются многие другие пределы.

Рассмотрим пример. Вычислить предел

Рассмотрим пример. Вычислить предел

Рассмотрим пример. Вычислить предел

Второй замечательный предел

или

Рассмотрим пример. Вычислить предел

Рассмотрим пример. Вычислить предел

Бесконечно малые функции.

Функция называется бесконечно малой в точкеесли

Или функция называется бесконечно малой в точке если для любогосуществуеттакое, что для всехудовлетворяющих неравенству

выполняется неравенство

Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при

Функция называется бесконечно большой в точке

если для любого существуеттакое, что для всехудовлетворяющих неравенству

выполняется неравенство

Сумма, разность и произведение бесконечно малых функций являются бесконечно малыми функциями.

Деление бесконечно малой функции на бесконечно малую функцию может привести к различным результатам.

Рассмотрим пример:

бесконечно малая функция при

бесконечно малая функция при

Рассмотрим пример:

бесконечно малая при

бесконечно малая функция при

Рассмотрим пример:

бесконечно малая при

бесконечно малая при

Правила сравнения бесконечно малых функций.

1)Если

то бесконечно малая более высокого порядка, чем

2)Если

то бесконечно малые одного порядка.

3)Если

то бесконечно малые эквивалентные одного порядка

Рассмотрим пример:

Рассмотрим пример:

следовательно при являются бесконечно малыми одного порядка.