18.2. Необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных

Необходимое условие экстремума. Если точка является точкой экстремума функции то

или хотя бы одна из этих производных не существует.

Точки, для которых эти условия выполнены, называются стационарными или критическими. Точки экстремума всегда являются стационарными, но стационарная точка может и не быть точкой экстремума. Чтобы стационарная точка была точкой экстремума, должны выполняться достаточные условия экстремума.

Введем обозначения

Достаточное условие экстремума. Пусть функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно в некоторой области, содержащей стационарную точку. Тогда:

1. если то точка является точкой экстремума для данной функции, причем будет точкой максимума прии точкой минимума при;

2. если то в точкеэкстремума нет;

3. если то экстремум может быть, а может и не быть.

В третьем случае необходимы дополнительные исследования.

Рассмотрим пример.

Исследовать на экстремум функцию

Так как в данном случае ивсегда существует, то для нахождения стационарных точек получим систему уравнений

Таким образом, получены две стационарные точки

Находим

Тогда

В точке величина т.е. в этой точке экстремума нет. В точкевеличина

следовательно, в этой точке данная функция достигает локального минимума

Дифференцируемая функция в ограниченной замкнутой области достигает своего наибольшего (наименьшего) значения либо в стационарной точке, лежащей внутри областилибо на границе этой области. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой областинеобходимо найти все критические точки, лежащие внутри данной области и на ее границе, вычислить значения функции в этих точках, а также во всех остальных точках границы, а затем путем сравнения полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее из них.

Рассмотрим пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на круге радиуса с центром в начале координат

Найдем частные производные функции

Найдем критические точки функции из системы

решая данную систему, получим т.е. имеется одна критическая точка

Найдем критические точки функции на границе области – окружности, задаваемой уравнением Подставляяв функциюполучим функцию одной переменной

причем

Найдем производную и приравняем ее к нулю, получим критические точки на границе области

Найдем значения в критических точках внутри областии на ее границе

а также на концах отрезка на границе области

и выбираем среди них наибольшее и наименьшее.

Итак,

Рис. 35

Замкнутая область

18.3. Условный экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом множестве

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть рассматривается функция аргументыкоторой удовлетворяют условиюназываемому уравнением связи.

Точка называется точкой условного максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек из этой окрестности удовлетворяющих условиювыполняется неравенство

На рисунке изображена точка условного максимума которая не является точкой безусловного экстремума функциитак как такой точкой будет

Рис. 36

Замкнутое множество

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Допустим уравнение связи удалось разрешить относительно одной из переменных, например, выразитьчерезПодставив полученное выражение в функцию двух переменных, получимт.е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет условным экстремумом функции

Рассмотрим пример. Найти точки максимума и минимума функции

при условии

Выразим из уравнения переменнуючерез переменнуюи подставим полученное выражение

в функцию Получим

или

Эта функция имеет единственный минимум при Соответствующее значение функции

Таким образом, точка условного экстремума (минимума).

В рассмотренном примере уравнение связи оказалось линейным, поэтому легко удалось разрешить относительно одной из переменных. В более сложных случаях сделать это не удается.