38.1. Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов

Знакочередующиеся ряды. Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно, то положительны, то отрицательны

где

Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине

и предел его общего члена при равен нулю, т.е.

то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена

Замечание. В теореме Лейбница существенно не только условие

но и условие

Так, например, для ряда

второе условие нарушено и, хотя

ряд расходится.

Следствие: погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена.

Сумму сходящегося ряда можно представить как сумму членов ряда и суммыго остатка ряда, т.е.Полагая приближенномы допускаем погрешность, равнуюТак как при четномй остаток знакочередующегося рядыпредставляет ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, то его суммане превосходит первого членат.е.Так как при нечетномдляго остатка рядаего суммато при любом

Рассмотрим пример. Исследовать сходимость ряда

Так как члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине

предел общего члена

то по признаку Лейбница ряд сходится.

Знакопеременные ряды. Пусть знакопеременный ряд, в котором любой его член может быть как положительным, так и отрицательным.

Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

сходится, то сходится и данный ряд.

38.2. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые уничтожают друг друга.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются. Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда.

Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают. Возьмем, например, ряд

Переставим члены местами и сгруппируем их следующим образом

т.е. от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза.

Рассмотрим пример. Исследовать сходимость ряда

Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия Лейбница. Следовательно, указанный ряд сходится. Однако ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т.е.

расходится (гармонический ряд). Такой ряд называют условно сходящимся.

Рассмотрим пример. Исследовать сходимость ряда

Так как члены знакочередующегося ряда, начиная со второго, убывают по абсолютной величине

и предел общего члена

то по признаку Лейбница ряд сходится.

Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда,

расходится, так как его члены больше членов расходящегося гармонического ряда, умноженного на

Следовательно, данный ряд условно сходящийся.

Рассмотрим пример. Исследовать сходимость ряда

Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, так как его члены меньше членов сходящегося обобщенно гармонического ряда при

Следовательно, данный ряд сходится и притом абсолютно.

Контрольные вопросы

1. Какие ряды называют знакочередующимися?

2. Дать определение знакопеременного ряда.

3. Сформулировать признак Лейбница.

4. Какой ряд называют условно сходящимся?

5. Дать определение абсолютно сходящегося ряда.

Лекция №39. Функциональные ряды

39.1. Функциональные ряды

39.2. Степенные ряды.

39.3. Теорема Абеля.