17.1. Определение функции многих переменных. Область определения функции многих переменных

Если множество рассматривать как множество точек на плоскости и каждой точкепоставить в соответствие определенное числото, тем самым, на множествеопределяется функциякоторую называют функцией двух переменных.

Геометрической интерпретацией функции двух переменных служит поверхность

которую называют графиком этой функции.

Подобным образом можно определить функцию трех переменных.

Для определения функций большого числа переменных потребуется рассматривать пространства размерности

Определение мерного арифметического пространства: множество всех упорядоченных совокупностей по действительных чисел

Элементы этого множества называют точками а числа - их координатами.

Если каждой точке из множестваточек пространствапоставлено в соответствие по некоторому закону числото на множествеопределена функцияпеременных

Рассмотрим примеры функций двух переменных.

Например, функция

Область определения этой функции – множество всех пар чисел т.е. вся плоскостьа множество значений – промежуток

Функция

Областью определения данной функции является множество всех точек, для которых выражение определено, т.е. множество точек, для которых

Множество всех таких точек образует круг с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Множество значений функции представляет собой отрезок

Из рассмотренных примеров следует, что областью определения двух переменных может быть вся плоскость или ее часть.

Число называетсяпределом функции в точке если для любогосуществуеттакое, что при всехудовлетворяющих условиям

справедливо неравенство

Если предел функциив точкето

Функция называется непрерывной в точкеесли справедливо равенство

Например, функция

непрерывна в любой точке плоскости, за исключением точки в которой функция терпит бесконечный разрыв.

Функция, непрерывная во всех точках некоторой области называетсянепрерывной в данной области.

Если переменной дать некоторое приращениеаоставить постоянной, то функцияполучит приращениеназываемоечастным приращением функции по переменной

Аналогично, если переменная получает приращениеаостается постоянной, то частное приращение функциипо переменной

17.2. Частные производные и дифференциалы первого и высших порядков

Если существуют пределы

они называются частными производными функции по переменным исоответственно.

Аналогично определяются частные производные функций любого числа переменных.

Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной, найденной при условии, что остальные переменные – постоянны, то все правила и формулы дифференцирования функции одной переменной применимы для нахождения частных производных функций любого числа переменных.

Рассмотрим примеры.

1)Найти частные производные функции

Частная производная по переменной :

Частная производная по переменной :

2)Найти частные производные функции

Частная производная по переменной :

Частная производная по переменной :

Дифференциал функции найденный при условии, что одна из независимых переменных изменяется, а вторая остается постоянной, называетсячастным дифференциалом, т.е. по определению

где произвольные приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами. Это справедливо и для функции трех переменных

Вычислить значения частных производных функции

в точке

Находим частные производные

В полученные выражения подставляем координаты данной точки

Полным приращением функции называется разность

Главная часть полного приращения функции , линейно зависящая от приращений независимых переменныхназываетсяполным дифференциалом функции и обозначается

Если функция имеет непрерывные частные производные, то полный дифференциал существует и равен

где произвольные приращения независимых переменных, называемые их дифференциалами.

Рассмотрим пример.

Найти полный дифференциал функции

Найдем частные производные

Полный дифференциал

Полный дифференциал часто используется для приближенных вычислений значений функции, так как

т.е.

Рассмотрим пример.

Вычислить приближенно

Рассмотрим функцию При имеем

Найдем полный дифференциал функции в любой точке

Вычислим его значение в точке при данных приращениях

Тогда

Функция гденазываетсясложной функцией переменных Для нахождения частных производных сложных функций используются формулы

В случае, когда формула преобразуется к виду

Если же то формула имеет вид

Рассмотрим пример.

Найти частные производные функции

Если уравнение задает некоторую функциювнеявном виде и то

Если уравнение задает функцию двух переменныхв неявном виде и то справедливы формулы

Рассмотрим пример. Найти производную функции заданной неявно уравнением

Согласно формуле

получим

Частными производными второго порядка называют частные производные, взятые от частных производных первого порядка