26.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

В предыдущих лекциях мы рассматривали интегралы от функций, интегрируемых на конечных отрезках интегрирования. На практике возникает необходимость обобщения этих понятий на случаи, когда либо один из концов (или оба) отрезка интегрирования удален в бесконечность, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования.

Пусть функция определена на промежутке и интегрируема по любому отрезкут.е. существует определенный интеграл

при любом Тогда, если существует конечный предел

то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают

Таким образом, по определению,

Если данный предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл не существует или расходится.

Аналогично вводится несобственный интеграл по промежутку

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами можно определить как сумму выше рассмотренных несобственных интегралов

где -любое число, при условии существования обоих интегралов справа.

Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода.

Пусть тогда определенный интеграл

выражает площадь области, ограниченной сверху графиком функции снизу – осьюслева – прямой справа – прямой

Несобственный интеграл

выражает конечную площадь бесконечной области, ограниченной сверху графиком функции , снизу осью, слева прямой

Рассмотрим пример вычисления несобственного интеграла первого рода.

т.е. данный интеграл сходится.

Рассмотрим пример.

интеграл расходится, так как

В рассмотренных примерах вычисление несобственного интеграла было основано на его определении.

26.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция определена на промежутке Точкуназывают особой, если функциянеограниченна в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезкезаключенном вПусть на любом отрезкефункцияинтегрируема, т.е. существует определенный интеграл

при любом таком, что Тогда, если существует конечный предел

то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают

Если предел от данного интеграла не существует или бесконечен, то интеграл не существует и расходится.

Если -особая точка, то несобственный интеграл определяется так

Если функция не ограничена в окрестности какой-нибудь внутренней точкито при условии существования обоих интегралов справа по определению

Если -особые точки, то если оба интеграла справа существуют, несобственный интеграл определяется как сумма

где -любая точка из

26.3. Признак сходимости несобственных интегралов (признак сравнения)

Если функции и непрерывны на промежуткеи удовлетворяет на нем условиюто из сходимости интеграла

следует сходимость интеграла

а из расходимости интеграла

следует расходимость интеграла

Рассмотрим пример. Исследовать сходимость

Сравним подынтегральную функцию

с функцией на промежуткеОчевидно, что

Но интеграл

сходится, так как Следовательно, согласно признаку сравнения сходится и данный интеграл.

Рассмотрим пример. Исследовать сходимость

Сравнивая подынтегральную функцию

с функцией на промежуткеимеем

Но интеграл

расходится, так как Следовательно, согласно признаку сравнения и данный интеграл сходится.

Контрольные вопросы

1. Дать определение несобственному интегралу с бесконечными пределами.

2. Дать определение несобственному интегралу с конечными пределами.

3. Какие несобственные интегралы называют сходящимися (расходящимися)?

Лекция №27. Двойной интеграл

27.1. Постановка задачи интегрирования функции многих переменных.

27.2. Двойной интеграл и его свойства.

27.3. Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования.