42.1. Множества

Под множеством можно понимать неупорядоченную совокупность элементов, набор объектов. Примерами множеств может служить:

1) множество людей, например, группа детей одного класса – элементами служат учащиеся именно данного класса;

2) совокупность всех классов некоторой школы – элементами являются именно группы детей, образующих каждый их этих классов;

3) множество натуральных чисел: натуральные числа – числа от 1 до бесконечности;

4) множество треугольников: любой треугольник является элементом этого класса;

5) D= {2, 4, 6, 8, 10, 12…} – множество четных чисел.

Если множество задано, каждый элемент его уникален, т. е. отличим от других; причем для любого объекта существует возможность установить, принадлежит ли он множеству или нет.

Множества обозначаются заглавными буквами, как правило, латинского алфавита. При этом элементы множества принято заключать в фигурные скобки.

Принадлежность элемента множествуобозначается символом, например, , не принадлежность символом.

Например, рассмотрим множество . Запись, означает, что число 3 принадлежит множеству,, что число 9 не принадлежит множеству.

Совокупность является множеством, последовательность записи элементов не имеет значения, поэтому оно неотличимо от множества

Совокупность множеством не является, здесь некоторые элементы записаны не единичным образом.

Число элементов множества обозначается, каки называетсямощностью или численностью (размером, нормой, длиной и др.) множества.

Множество, не содержащее элементов, обозначается символом и называется пустым множеством. Пустое множество может встретиться в реальных задачах. Так, например, может оказаться, что множество студентов группы, получивших две неудовлетворительные оценки, пусто. Это значит, что таковых студентов нет.

Множество может быть представлено в виде:

- перечисления, например,,

- свойства, например, – студенты старше 25 лет,

- процедуры, например, .

Здесь и далее при задании множества символ – вертикальная разделительная черта, используется вместо слов “таких, что”, “всех” и др.

Рассмотрим запись которая означает, что множествосостоит их всех элементов, обладающих свойством.

Например, запись означает, что множествупринадлежат корни уравнения.

При задании множества используют новые символы и слова:

• , для обозначения союза “И”

• для обозначения союза “ИЛИ”

• ” квантор общности, для обозначения слов: “для всех”, “для каждого”…

• $ квантор существования, для обозначения слов: “существует”, ”найдется” ….

Свойство, с помощью которого задано множество, называется характеристическим свойством. Этим свойством должны обладать все элементы данного множества. А именно, все элементы заданного множества обладают характеристическим свойством и если некоторый из элементов не принадлежат этому множеству, то он не обладают заданным свойством.

Для наглядности множества на плоскости изображаются кругами или иными плоскими геометрическими фигурами, замкнутыми контурами.

42.2. Подмножество

Подмножеством некоторого множества называется любое множество, состоящее из элементов данного множества. Говорят, что подмножество является частью множества.

Если множество есть подмножество множества, то пишут. Знакназывается знаком включения. Не следует его путать со знаком– принадлежности.

Если подмножество совпадает с самим данным множеством или является пустым множеством, то оно называется несобственным подмножеством. Все остальные подмножества называются собственными подмножествами.

Основная характеристика множества есть количество его элементов или его мощность.

Количество элементов в некотором множестве называется его численностью. Запись вида обозначает, что число элементов в этом множестверавно 12.

Множества, имеющие одинаковую мощность, называются равномощными или эквивалентными множествами.

Множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Множество называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел. В противном случае множество называется несчетным.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным множеством, а множество, содержащее бесконечное число элементов – бесконечным множеством.