47.6. Вычисление вероятности заданного отклонения. Правило трех сигм

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине меньше заданного положительного числат.е. требуется найти вероятность осуществления неравенства

Перейдем к двойному неравенству

так как

то

События, состоящие в осуществление неравенств

противоположные.

Поэтому, если вероятность осуществления неравенства

равна то вероятность неравенства

равна

Рассмотрим пример. Случайная величина распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонениесоответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

По условию

Тогда

Правило трех сигм.

Преобразуем формулу

Пусть тогда

Если то

т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно 0,0027.

В этом и состоит правило трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике применяют правило трех сигм в случаях: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая случайная величина распределена нормально; в противном случае, случайная величина не распределена нормально.

Контрольные вопросы

1. Сформулировать понятие потока событий.

2. Записать аналитически и изобразить графически нормальный, равномерный и показательный законы распределения.

3. В чем состоит смысл правила трех сигм?

Лекция №48. Закон больших чисел

48.1. Закон больших чисел и его практическое значение.

48.2. Центральная предельная теорема Ляпунова.

48.3. Применение закона больших чисел и центральной предельной теоремы.

48.1. Закон больших чисел и его практическое значение

Нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. При некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия указываются в теоремах, носящих название закона больших чисел (теоремы Чебышева и Бернулли).

Нормально распределенные случайные величины широко распространены на практике. Чем это объясняется?

Ответ дал А.М. Ляпунов. Если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

В практической деятельности большое значение имеют события с вероятностями, близкими к единице или нулю. Отсюда становится ясным, что одной из основных задач теории вероятностей должно быть установление закономерностей, происходящих с вероятностями, близкими к единице, при этом особую роль должны играть закономерности, возникающие в результате наложения большого числа независимых или слабо зависимых случайных факторов. Закон больших чисел является одним из таких предложений теории вероятностей.

Под законом больших чисел понимают всю совокупность предложений, утверждающих с вероятностью, близкой к единице, что наступит некоторое событие, зависящее от неограниченного числа случайных событий, каждое из которых оказывает на него лишь незначительное влияние.