33.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнения вида

где искомая функция, аи непрерывные функции на некотором интерваленазываетсялинейным дифференциальным уравнением второго порядка.

Если то уравнение

называется линейным однородным. Если то уравнениеназывается линейным неоднородным.

Разрешая данное уравнение относительно

можно заметить, что оно является частным случаем уравнения и удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения.

При отыскании общего и частного решений уравнений второго порядка важную роль играет понятие линейной зависимости и линейной независимости функций

Функции называются линейно зависимыми в интервале если существуют постоянные числане все равные нулю, такие, что

Если же указанное тождество выполняется, когда все то функцииназываются линейно независимыми в интервале

Критерий линейной независимости и линейной зависимости функций. Если функции в интервале(функции, имеющие в интерваленепрерывные производные дого порядка включительно) линейно зависимы, тов интервалеЕслито функциилинейно независимы, гдеопределитель Вронского

Если любая фундаментальная система решений уравнения

то функция

где произвольные постоянные,является общим решением уравнения

Фундаментальную систему уравнения

можно найти, используя только алгебраические методы, следующим образом.

Исходя из данного уравнения, составляют алгебраическое уравнение

которое называется характеристическим уравнением для исходного. Оно имеет два корня, среди которых могут быть действительные простые и кратные корни, а также пары комплексно–сопряженных корней (простых и кратных).

Если корни характеристического уравнения действительные и различные то им соответствует фундаментальная система решений и общее решение уравнения

Если корни характеристического уравнения действительные и равные то им соответствует

Если корни характеристического уравнения комплексно–сопряженные то им соответствует

Рассмотрим пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Составляем характеристическое уравнение, находим его корни, фундаментальную систему решений и общее решение уравнения

Рассмотрим пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Составляем характеристическое уравнение, находим его корни, фундаментальную систему решений и общее решение уравнения

Рассмотрим пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Составляем характеристическое уравнение, находим его корни, фундаментальную систему решений и общее решение уравнения

Контрольные вопросы

1. Сформулировать теорему Коши для дифференциального уравнения второго порядка.

2. Какое решение дифференциального уравнения второго порядка называют общим, а какое – частным?

3. Записать в общем виде линейное дифференциальное уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

4. Какое уравнение называют характеристическим?

Лекция №34. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

34.1. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

34.2. Особенности интегрирования неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Метод вариации произвольной постоянной.