30.1. Комплексные числа и их изображение на плоскости

Комплексные числа возникли в связи с задачей решения квадратных уравнений. Оставаясь в множестве действительных чисел, невозможно решить квадратное уравнение, дискриминант которого меньше нуля.

Комплексные числа необходимы в различных приложениях математики. В частности, теория функций комплексной переменной является действенным инструментом при использовании математических методов в различных областях науки.

Комплексным числом называется выражение вида где -действительные числа, -мнимая единица.

Итак, комплексным числом называется всякая упорядоченная пара действительных чисел иДействительное числоназывают абсциссой комплексного числадействительное числоего ординатой

или

Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости в виде точки Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостью комплексного переменного

Рис. 62

Плоскость комплексного переменного

Действительные числа изображаются точками оси абсцисс, мнимые числа изображаются точками оси ординат. Поэтому ось называют действительной осью, а ось ординат мнимой осью.

Соединив точку с началом координат, получим векторВ некоторых случаях удобно считать геометрическим изображением комплексного числавекторПри этом действительная и мнимая части числа являются проекциями векторана действительную и мнимую оси.

Обозначим через и полярные координаты точкисчитая начало координат полюсом, а положительное направление осиполярной осью.

Рис. 63

Геометрическое изображение комплексного числа

Тогда имеют место следующие равенства

Следовательно, комплексное число можно представить в виде

– это есть тригонометрическая форма записи комплексного числа называется модулем комплексного числааргументом комплексного числа

30.2. Модуль и аргумент комплексного числа

Обозначение

определяется с точностью до слагаемого

Модуль и аргумент находятся следующим образом

так как

Так как

Пусть

найдем произведение этих чисел:

Произведение двух комплексных чисел есть такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.

Найдем частное двух комплексных чисел

Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси против часовой стрелки, и отрицательным, если он отсчитывается по часовой стрелке. Аргумент определяется неоднозначно, а с точностью до слагаемоголюбое целое число.

30.3. Различные формы записи комплексного числа. Формула Эйлера. Алгебраические действия над комплексными числами

Форма записи комплексного числа называетсяалгебраической формой комплексного числа Еслито числоназывается мнимым, еслито числобудет действительным.

Два комплексных числа отличающиеся только знаками мнимой части, называютсякомплексно сопряженными числами.

Комплексное число равно нулю тогда, и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю

Алгебраическая форма записи существенно облегчает выполнение арифметических операций над комплексными числами, как над обычными двучленами, учитывая, что

Пусть

Сложение чисел и:

Вычитание комплексных чисел и:

Умножение комплексных чисел и:

Произведение сопряженных комплексных чисел равно сумме квадратов их действительной и мнимой частей

Деление комплексных чисел и:

Рассмотрим пример. Представить комплексные числа в алгебраической форме и выполнить операции сложения, вычитания, умножения и деления

Показательная форма записи комплексного числа.

Пусть Определим показательную функцию комплексного переменного

Положим получим формулу Эйлера, выражающую показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции

Напомним, что комплексное число в тригонометрической форме имеет вид

тогда, применив к записи комплексного числа в показательной форме, получим

Арифметические действия над комплексными числами в показательной форме выполняются на основании свойств показательной функции.

Пусть

Произведение чисел и

Частное чисел и:

Возведение комплексного числа в степень:

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа :

Контрольные вопросы

1. Какие числа называют комплексными?

2. Записать различные формы комплексного числа.

3. В каком случае применяют формулу Эйлера?

4. Перечислить алгебраические действия над комплексными числами.

Лекция №31. Дифференциальные уравнения

31.1. Задачи, приводящие к составлению и решению дифференциальных уравнений.

31.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема Коши. Понятие об общем и частном решении дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.