16.2. Точки перегиба функции и участки выпуклости и вогнутости графика функции

График функции называетсявыпуклым в интервале если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

График функции называетсявогнутым в интервале если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Рис. 32

Участки выпуклости и вогнутости графика функции

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции: если в интервалето график функции является выпуклым в этом интервале; еслито в интервалеграфик функции вогнутый.

Пусть функция дифференцируема на интервалеи точкаТочкаграфика функцииназываетсяточкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки оси абсцисс, в пределах которой график функциислева и справа от точкиимеет разные направления выпуклости. Если–абсцисса точки перегиба графика функциито вторая производная равна нулю или не существует. Точки, в которыхне существует, называютсякритическими точками второго рода.

Если – критическая точка второго рода и при произвольном достаточно маломвыполняются неравенства

то точка кривой с абсциссойявляется точкой перегиба. Если

имеют одинаковые знаки, то точка кривой с абсциссойне является точкой перегиба.

Рассмотрим пример. Найти промежутки выпуклости и вогнутости графика функции

Продифференцируем два раза данную функцию, приравняем к нулю, полученное уравнение решим относительно переменной получим критические точки второго рода, которые поделят всю область определения функции на участки выпуклости и вогнутости

Точка делит всю область определения функции на два участка. Определим знак производной второго порядка на этих участках:

следовательно, данная кривая выпукла на участке

следовательно, данная кривая вогнута на участке

16.3. Асимптоты графика функции

При исследовании поведения функции на бесконечности, т.е. при и приили вблизи точек разрыва второго рода, часто оказывается, что график функции сколь угодно близко приближается к той или иной прямой. Такие прямые называютсяасимптотами. Асимптоты бывают: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Прямая называетсявертикальной асимптотой графика функции если хотя бы одно из предельных значений

или

равно или

Прямая называетсягоризонтальной асимптотой графика функции приесли

Прямая

называется наклонной асимптотой графика функции приесли существуют пределы

или

Рассмотрим пример. Найти асимптоты кривой

В точке функция определена. Найдем предел функции слева и справа от этой точки

Следовательно, вертикальная асимптота.

Найдем наклонную асимптоту в виде , где

,

значит, наклонная асимптота имеет уравнение .

16.4. Общая схема исследования функции и построение ее графика

Чтобы построить график функции , необходимо ее исследовать, т.е. определить характерные особенности графика данной функции. Для этого следует:

1) найти область определения функции;

2) найти точки пересечения графика функции с осями координат;

3) исследовать функцию на четность и нечетность;

4) исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва и установить характер разрыва;

5) найти асимптоты кривой

6) найти интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума;

7) найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба;

8) построить график функции

Рассмотрим пример. Построить график функции

предварительно определив его характерные особенности.

1)Найдем область определения функции:

,

т.е.

2)Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

- пересечение с осью :т.е. точка

- пересечение с осью :т.е. точка

3) Исследуем функцию на четность (нечетность)

- функция нечетная.

4)В точках функция неопределенна, следовательно, терпит разрыв, определим какого рода

в точках функция терпит разрыв второго рода, следовательно

- вертикальные асимптоты.

5) Найдем наклонную асимптоту кривой в виде , где

следовательно, – наклонная асимптота.

6) Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума

– это критические точки, которые делят область определения на участки возрастания и убывания. Определим знак производной функции на выявленных участках:

следовательно, на промежутке функция возрастает;

следовательно, на промежутке функция убывает;

следовательно, на промежутке функция убывает;

следовательно, на промежутке функция возрастает;

Таким образом, – точка максимума,– точка минимума.

7)Найдем интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

Для этого определим критические точки второго рода

Точка – критическая точка второго рода, которая делит область определения функции на участки выпуклости и вогнутости

следовательно, на промежутке данная кривая выпукла;

следовательно, на промежутке данная кривая вогнута.

8)Построим график функции:

Рис. 33

График функции

Контрольные вопросы

1. Дать определение экстремума функции.

2. Какая функция называется возрастающей (убывающей)?

3. Как найти точки перегиба функции и участки выпуклости и вогнутости функции?

4. Что называют асимптотами графика функции?

5. Дать общую схему исследования функции.

Лекция №17. Функции многих переменных

17.1. Определение функции многих переменных. Область определения функции многих

переменных.

17.2. Частные производные и дифференциалы первого и высших порядков.

17.3. Дифференцирование сложной и неявной функции. Теорема о смешанных производных.

17.4. Производная по направлению. Градиент.