15.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши

Теорема Ферма: пусть функция определена на интервале и в некоторой окрестности точкеэтого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точкесуществует производная, то она равна нулю, т.е.

Предположим, что функция в точкеимеет наибольшее значение, т.е.

для любого Это значит, что

для любой точки . Поэтому, если

,

то

и, следовательно,

если

,

то

и, следовательно,

т.е. правая производная в точке неположительная, а левая – неотрицательная. По условию, существует и значит,

Это возможно только если

,

но тогда и

Замечание: теорема неверна, если функцию рассматривать на отрезке, так как производная на концах отрезка не обращается в нуль.

Теорема Ролля: пусть на отрезке определена функцияпричем:

1. непрерывна на отрезке

2. дифференцируема на интервале

3. .

Тогда существует точка в которой.

Так как функция непрерывна на отрезкето она имеет на этом отрезке максимальноеи минимальноезначение, т.е. существуют такие точкичто

и выполняются неравенства

Рассмотрим два случая: 1) 2)

В первом случае Следовательно, производнаяравна нулю в любой точке отрезка

Во втором случае следовательно, хотя бы одно из двух значений,или, не принимается на концах отрезка, т.е. существует точкапринадлежащая интервалув которой функцияпринимает наибольшее или наименьшее значение на интервалеВ этом случае, так какдифференцируема в точкето следует, что

Теорема Лагранжа: пусть на отрезке определена функцияпричем:

1. непрерывна на отрезке

2. дифференцируема на интервале

Тогда существует точка такая, что справедлива формула

Замечание: величина

является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки графика функцииаугловой коэффициент касательной к графику в точке

Теорема Коши: пусть функции инепрерывна на отрезкеи дифференцируемы на интервалеПусть кроме того,Тогда существует точкатакая, что справедлива формула

15.2. Правило Лопиталя

Правило Лопиталя: пусть отношение двух функций приесть неопределенность видаесли

Раскрыть эту неопределенность – значит вычислить предел

если он существует, или установить, что он не существует.

Теорема Лопиталя устанавливает правило для раскрытия неопределенности вида пусть функциииопределены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки, за исключением самой точкиПусть

в указанной окрестности точки Тогда, если существует предел отношения производных

конечный или бесконечный, то существует и предел

причем справедлива формула

Замечания: 1) если производные удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функциии, то правило Лопиталя можно применить повторно:

2)правило Лопиталя остается верным и в случае, когда

Рассмотрим пример:

Пусть функция имеет производную в точке

тогда можно записать

следовательно

Величина бесконечно малая более высокого порядка, чемт.е.главная часть приращения

15.3. Дифференциал функции

Дифференциалом (первого порядка) функции

называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента:

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента

Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции.

Рис. 31

Приращение ординаты касательной к графику функции

Основные свойства дифференциала:

1)

2);

3)

4)

5)

6).