14.3. Основные правила дифференцирования

Рассмотрим основные правила дифференцирования.

Если функции дифференцируемы в точке, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы:

1. 

2. 

3. ;

4. .

Если (сложная функция) где функцииимеют производные, то правило дифференцирования данной функции следующее

Формулы дифференцирования основных функций (табл. 5).

Таблица 5

Функция	Производная функции	Функция	Производная функции
Функция	Производная функции	Функция	Производная функции

Рассмотрим примеры на применение правил дифференцирования.

1. 

2. 

3. 

4. 

14.4. Производная обратной, параметрически заданной функции

Пусть функция является обратной для функции Если функцияимеет в точкепроизводнуюто обратная функциятакже имеет в соответствующей точкепроизводную, причем

Геометрический смысл производной обратной функции заключается в том, что производная обратной функции равна тангенсу угла наклона касательной в точкек оси

Рассмотрим пример. Найдем производную функции Данная функция является обратной для функции

Так как

то

Но

следовательно

Пусть даны две функции

одной независимой переменной определенные и непрерывные в одном и том же промежутке. Еслистрого монотонна, то обратная к ней функциятакже непрерывна и строго монотонна. Поэтомуможно рассматривать как функцию, зависящую от переменнойпосредством переменнойназываемой параметром

В этом случае говорят, что функция отзадана параметрически с помощью уравнений

Предположим, что функции имеют производные, причемна некотором промежутке, следовательно

Применим теорему о производной сложной функции

Получим Следовательно

или

Рассмотрим пример. Найдем производную функции

.

Применив формулу, получим

14.5. Производная показательно-степенной функции.

Дифференцирование неявных функций

Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание, и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно–степенной.

Пусть – функции, имеющие производные в точкеНайдем производную функции.

Применим способ логарифмического дифференцирования, который состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Логарифмируя обе части равенства , получим

Найдем производную левой и правой части равенства, приняв во внимание, что –сложная функция

Выразим из полученного равенства учтем, что

Рассмотрим пример. Найдем производную показательно–степенной функции

Применим способ логарифмического дифференцирования, в результате чего получим

Выше было рассмотрено дифференцирование явных функций, заданных в виде . Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной уравнением

Для нахождения производной функции заданной неявно, нужно продифференцировать обе части уравнения, рассматриваякак функцию ота затем из полученного уравнения найти производную

Рассмотрим пример. Найти производную функции, заданной уравнением и вычислить ее значение в точке

Найдем производную каждого слагаемого, учитывая, что –функция от аргумента

Найдем значение производной в заданной точке:

Контрольные вопросы

1. Перечислить правила дифференцирования функций?

2. Как находится производная сложной и неявной функции?

3. В чем состоит геометрический смысл производной?

4. Какие производные применяются для исследования функций и построения их графиков?

Лекция №15. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

15.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

15.2. Правило Лопиталя.

15.3. Дифференциал функции.

15.4.Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

15.5. Производные и дифференциалы высших порядков.