2.1. Формулы Крамера

Метод Крамера – способ решения систем линейных уравнений, у которых количество переменных равно количеству уравнений. Метод создан Габриэлем Крамером в 1751 году.

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Рассмотрим метод на примере системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пусть -определитель матрицы системы уравнений

а - определители матрицы, полученные путем заменыj-го столбца на столбец свободных членовТогда:

- если то решение системы единственное в виде

• если а хотя бы один из определителей переменных от нуля отличен, то система несовместна (решений нет);

• если то система совместна и имеет бесконечное множество решений.

- если система линейных уравнений однородная, то есть то она имеет по крайне мере одно тривиальное решениепри. При нулевых свободных членах все определителибудут равны нулю, так как будут содержать столбец нулевых элементов. Следовательно, формулы

дадут

Рассмотрим пример. Решить систему методом Крамера.

Тогда

Проверим:

2.2. Обратная матрица

Рассмотрим квадратную матрицу

Матрица A называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, матрица называется вырожденной.

Для невырожденной матрицы A существует обратная матрица , которая в произведении с матрицейA дает единичную матицу:

Обратная матрица вычисляется по формуле:

где алгебраические дополнения к элементам матрицы,-определитель матрицы.

Элементы матрицы заменяют алгебраическими дополнениями, полученную матрицу транспонируют и каждый элемент делят на определитель.

Рассмотрим пример. Найти обратную матрицу к матрице

Рассмотрим алгоритм решения. Первый шаг, найдем главный определитель матрицы

Следовательно, существует.

Второй шаг, транспонируем исходную матрицу

Третий шаг, найдем алгебраические дополнения для каждого элемента транспонированной матрицы

Последний шаг, записывают матрицу обратную исходной матрице

Проверим полученный результат:

По полученному результату можно сделать вывод, что обратная матрица матриценайдена правильно.

2.3. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений и ее решение методом обратной матрицы

Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений:

- применим к решению систем линейных алгебраических уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных;

- удобен для решения систем линейных алгебраических уравнений невысокого порядка;

Определим операцию деления матриц, как операцию, обратную умножению.

Пусть дана система

Составим матрицы

Пусть матрица A –невырожденная.

Систему уравнений можно записать в следующем виде

Умножим обе части матричного уравнения на обратную матрицу

получили решение матричного уравнения.

В развернутом виде

Выполнив умножение матриц, запишем решение системы.

Для применения данного метода необходимо найти обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

Рассмотрим пример. Решить систему матричным способом

Тогда

Следовательно,