8.2. Каноническое уравнение эллипса и его характеристики

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек , называемых фокусами, есть величина постояннаяРасстояние между фокусами эллипсаназывается фокусным расстоянием и обозначается

Общее уравнение эллипса

где большая полуось,малая полуось,координаты центра эллипса.

Если центр эллипса находится в начале координат и фокусы эллипса находятся на оси на равных расстояниях от начала координат, то уравнение примет вид

причем,

Рис. 13

Эллипс с центром в начале координат

Отношение фокусного расстояния к большой оси, т.е. называетсяэксцентриситетом (мера сжатия)

Эксцентриситет и коэффициент сжатия эллипсасвязаны соотношением

Директрисы эллипса.

Пусть дан эллипс

Рис. 14

Дирректрисы эллипса

с большой осью и эксцентриситетом

Отложим от центра эллипса на его большой оси отрезки

Прямые, проходящие через точки ипараллельно малой осиназываютсядиректрисами эллипса.

Для любой точки эллипса отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситетут.е.

Рассмотрим пример. На эллипсе

найти точку, разность фокальных радиус-векторов которой равна 6,4.

Рис. 15

Согласно уравнению эллипса определим расстояние от цента эллипса до фокусов

тогда

Кроме того,

Составим систему и решим ее

Получим

так как

Вывод: таких точек может быть две

8.3. Каноническое уравнение гиперболы и ее характеристики

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами. Если поместить фокусы гиперболы в точкахто получается каноническое уравнение гиперболы

где Вершинами гиперболы являются точкитогдадействительная ось гиперболы,мнимая ось гиперболы.

Рис. 16

Гипербола

Гипербола имеет две асимптоты

Эксцентриситет гиперболы

Фокальные радиус-векторы левой ветви гиперболы:

Фокальные радиус-векторы правой ветви гиперболы:

Рассмотрим пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих фокусах и вершинах эллипса

Найдем координаты фокусов, в которых лежат вершины гиперболы

следовательно

Рис. 17

Вершины гиперболы лежат в фокусах эллипса, следовательно

фокусы гиперболы, т.е.

Тогда

- уравнение гиперболы.

8.4. Каноническое уравнение параболы и ее характеристики

Парабола – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Если директрисой параболы является прямая а фокусом является точкато уравнение параболы имеет вид

Парабола симметрична относительно оси абсцисс

Рис. 18

Парабола

Рассмотрим пример. Составить простейшее уравнение параболы, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой и осью

В точке пересечения с осью координататогда

следовательно, фокус параболы.

Рис. 19

Парабола

Парабола симметрична Так как

Тогда искомое уравнение параболы.