4.8.8. Решение дифференциальных уравнений

Использование дифференциальные уравнений находит широкое применение для компьютерного моделирования динамических процессов в автоматизированных системах управления, в механике, других математических моделях. Практическое применение в различных областях науки и техники находят как обыкновенные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных. Ниже будет рассмотрен пример решения обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями, то есть для таких уравнений значения функции и ее производных до n-1 порядка являются известными при Х=0. Для обыкновенных дифференциальных уравнений,как правило, решается задача Коши, то есть задаются уравнения вида y=f (x,y) с начальными условиями x_0, y₀ при x₀ ≤ x ≤ x_кон.

Численное решение таких уравнений заключается в разбиении интервала х точками x_i с шагом h для i=1,2,…n и нахождении значений y_i по формуле y_i = y_i-1 + ∆y_i, где ∆y_i - приращение переменной у на каждом шаге.

Формула данного приращения определяется выбранным численным методом, Для метода Эйлера ∆y_{i =} h∙f(x_i,y_i), а в инженерных методах (Рунге-Кутта и других) она записывается более сложным образом. При этом уравнение 2-го и более высоких порядков предварительно должны быть сведены к нормальной системе обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Так уравнение y''=xy' +y² с начальными условиями x₀ =0, y₀ =3, y' =1 преобразуется к системе двух уравнений 1-го порядка:

y1' =y2, y2' =xy2 + y1²

с начальными условиями y1₀ = 3, y2₀ = 1.

Один из вариантов решения этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале (0, 1) с шагом 0, 1 методом Эйлера приведен на рис.4.47.

Рис.4.47. Решение дифференциального уравнения

В столбце А создан диапазон изменения аргумента х от 0 до 1 с шагом 0, 1. Столбец В содержит вычисленные по формуле Эйлера значения Y1(=B2 + 0,1*C2), столбец С – значения Y2 (=C2 + 0,1*(A2*C2+B2^2)).

Графики изменения функций Y1(х) и Y2(х) представлены на диаграмме.

4.8.9. Финансовые вычисления в Excel

Для выполнения различных финансовых вычислений Excel содержит группу финансовых функций, реализуемых с помощью Мастера функций. Они включают такие функции как: вычисление амортизации активов, ставку доходности по вкладу, вычисление процентов за определенный инвестиционный период и многие другие. Ниже рассмотрим примеры реализации некоторых финансовых функций.

Расчет амортизационных отчислений

Для расчета амортизационных отчислений необходимо знать три основных параметра:

• начальная стоимость имущества;

• остаточная стоимость имущества - стоимость в конце периода амортизации, иногда называемая остаточной стоимостью имущества после завершения эксплуатации;

• время эксплуатации - количество периодов, в течение которых имущество амортизируется, иногда называемые периодами амортизации.

Для расчета амортизационных отчислений могут быть использованы различные подходы и способы и в зависимости от этого могут быть применены и различные финансовые функции. В наиболее простом подходе амортизация распределяется равномерно на каждый год эксплуатации имущества и для расчета величины амортизационных отчислений используют функцию АПЛ, которая имеет следующий синтаксис: АПЛ(А;В;С), где:

• А - начальная стоимость имущества;

• В - остаточная стоимость имущества;

• С - продолжительность эксплуатации.

Рассмотрим пример расчета амортизационных отчислений. Пусть имеется приобретенное имущество стоимостью 400000 руб., продолжительность его эксплуатации составляет 8 лет, а остаточная стоимость равняется 50000 руб. Величина амортизационных отчислений составит 43,500 руб. за каждый год эксплуатации

Рис.4.48. Вычисление амортизационных отчислений