4 .6. Застосування операторного методу для розрахунку та аналізу rLc-кіл.

Приклад № 4.6.

Як приклад розрахуємо перехідні процеси в електричному колі з послідовним з’єднанням r, L і C (рис. 4.5), а також визначимо умови існування в цьому колі коливального і аперіодичного перехідних процесів при підключенні до її входу постійної напруги U_0.

Скористаємось операторними опорами елементів схеми і розрахуємо операторний струм:

.

Тоді зображення вихідної напруги (на конденсаторі) визначиться так:

,

де a₂ = LC; a₁ = rC.

Отриманий вираз можна переписати в такому виді:

a₂p²u_C(p) + a₁pu_C(p) + u_C(p) = U₀(p).

За теоремою про похідні це операторне рівняння можна представити у вигляді диференціального рівняння зв’язку u_C і U₀ при нульових початкових умовах:

.

Очевидно, що його характеристичне рівняння збігається із знаменником виразу для u_C(p), який прирівняний нулю, тобто

a₂p² + a₁p + 1 = 0,

а загальне рішення для диференціального рівняння зв’язку u_C і U₀ при нульових початкових умовах шукається у виді:

,

де р₁ і р₂ – корені характеристичного рівняння.

При дійсних коренях р₁ і р₂ u_C буде аперіодичною функцією. Якщо ж р₁ і р₂ – комплексні спряжені корені, то u_C буде коливальною функцією.

Отже умови аперіодичності або коливальності u_C визначається тільки знаком характеристичного рівняння. Іншими словами, обидва кореня

будуть дійсними, якщо 4а₂ ≤ а₁², або комплексними спряженими, якщо 4а₂ > а₁². Розглянемо ці обидва випадки.

1. Корені р₁ і р₂ – дійсні і від’ємні, оскільки а₂ > 0 і а₁ > 0.

Введемо позначення .

Враховуючи вираз для характеристичного опору rLC-кола можна записати:

.

Ця величина називається коефіцієнтом згасання перехідного процесу в rLC-колі. Неважко показати, що умова 4а₂ ≤ а₁² забезпечується лише при z > 1.

Знаючи величини r, L і С, можна обчислити значення p₁ і р₂, що дозволяє представити рівняння для u_C(p) у вигляді

де – постійні часу аперіодичної ланки другого порядку, що описує rLC-коло при z ≥1.

Враховуючи U₀(р) = U₀ / р (зображення постійної величини), остаточно отримується

.

Тоді відповідно до таблиці 4.1 перетворень Лапласа визначаємо оригінал функції:

.

Г рафік отриманої функції, що визначає характер зміни вихідної напруги, що знімається з конденсатора при стрибкоподібній зміні вхідної напруги, показаний на рис. 4.6.

Як і в rC-колі, напруга u_С(t) змінюється монотонно згідно з експонентним законом, але якщо в rC-колі, що описується диференціальним рівнянням першого порядку, похідна du_С(t) / dt при t = 0 дорівнює U₀ / τ, то в rLC-колі, що описується рівнянням другого порядку, du_С(t) / dt = 0. В цьому принципова відмінність кривих для rC-кіл і rLC-кіл при z ≥1.

2. Корені p₁ і р₂, – комплексні спряжені. Як слідує з виразу для коренів характеристичного рівняння, дійсна частина обох коренів, що дорівнює а₁ / 2а₂, завжди від’ємна при а₁ > 0 і а₂ > 0, що забезпечує затухаючий характер коливань перехідного процесу.

Умова комплексності коренів виконується при z < 1, а значення коренів визначається очевидною рівністю (де ):

.

Ввівши позначення (частота власних коливань rLC-кола), остаточно отримується

,

де – частота затухаючих коливань в rLC-колі; α = zω₀ – коефіцієнт убування амплітуди затухаючих коливань.

Очевидно, що при r = 0 z = 0 і ω_осц = ω₀. З урахуванням вираз для u_C(р) матиме вид:

,

що у відповідності з табл. 4.1 перетворень Лапласа дозволяє записати

де .

Залежність u_C(t) для rLC-кола при z < l представлена на рис. 4.7, де Т – період затухаючих коливань, що дозволяє знайти і .

Отже, якщо експериментально отримано графік u_С(t), то після визначення величин α і ω_осц значення ω₀ і z можуть бути розраховані з системи рівностей

Очевидно, що частота власних коливань ω₀ визначається при цьому тільки величинами L і С, однак частота затухаючих коливань, як і коефіцієнт загасання, залежать і від значення активного опору контуру r.