4.4. Комутація напруги в rL-колі.

Приклад № 4.3.

Р озглянемо найпростіше rL-коло, що підключено до джерела постійної напруги U₀ (рис. 4.4).

У вихідному стані ключ К замикає контакт 2 і струм в колі дорівнює нулю. В момент часу t = 0 ключ переводиться в положення 1 і під дією прикладеної напруги U₀ в колі почне протікати струм. Але цей струм відповідно законам комутації не може змінюватись миттєво, оскільки на струм в колі впливає стримуюча дія ЕРС самоіндукції котушки (ЕРС самоіндукції протидіє зміні струму в колі і в цьому випадку протидіятиме зростанню струму до сталого значення). Коли ж струм досягне сталого значення, ЕРС самоіндукції стане рівною нулю. При цьому стале значення струму буде I₀ = U₀ / r.

За другим законом Кірхгофа рівняння для напруг, що діють в колі, матиме вид: U₀ = u_r + u_L.

Враховуючи, що остаточно отримуємо:

де

Зміна струму в rL-колі, так як і зміна напруги на конденсаторі в розглянутому перед цим rС-колі, описується схожими звичайними диференціальними рівняннями першого порядку. За аналогією з rС-колом вирази для i, u_r, u_L для rL-кола будуть такі:

При перемиканні ключа К в положення 2 струм, що встановився I₀ = U₀ / r, також не може змінитись миттєво. Його зміна здійснюється плавно за рахунок тепер підтримуючого впливу ЕРС самоіндукції котушки аж до його повного зникнення.

У відповідності з другим законом Кірхгофа:

або , де

Рішення отриманого рівняння аналогічно здійсненому раніше рішенню рівнянь для rС-кола:

Як в rС-колі, так і в rL-колі швидкість протікання перехідного процесу визначається постійною часу τ (при збільшенні L швидкість протікання перехідних процесів зменшується, при збільшенні r – збільшується).

Постійна часу RL-кола також вимірюється в секундах:

4.5. Операторний метод розрахунку перехідних процесів.

Операторний метод є універсальним і придатним для розрахунку перехідних процесів при вхідній напрузі будь-якої форми, яка має аналітичне вираження.

В основу операторного методу покладене пряме перетворення Лапласа:

, де:

• f(t) – оригінал часової функції;

• F(p) – її зображення за Лапласом;

• – ступінчаста одинична функція;

• або L[x] – символ прямого перетворення Лапласа;

• p = δ + jω – оператор Лапласа.

Існує також зворотне перетворення Лапласа:

.

В загальному випадку операторний метод розрахунку полягає в прямому перетворенні вхідної напруги U_вх(t) в її зображення U_вх(p) = L[U_вх(t)], після чого здійснюється перетворення зображення U_вх(p) електричним колом, що представлене в операторних зображеннях її елементів. Потім отримане U_вих(p) підлягає зворотному перетворенню U_вих(t) = L^-1 [U_вих(p)].

При розрахунках електричних кіл операторним методом корисні кілька теорем операційного числення, що дозволяють значно спростити заміну часових функцій їх операторними зображеннями і широко використовується в практиці розрахунку електричних і електронних схем:

1) теорема відповідності: якщо f(t) F(р), то F(р) f(t);

2) теорема лінійності: якщо f(t) = af₁(t) + bf₂(t), то F(р) = aF₁(р) + bF₂(р), де a і b – деякі константи;

3) теорема лімітів:

– для початкового значення f(0);

– для сталого значення f(∞);

4. теорема про похідні:

якщо f(t) F(р), то

pF(p) – f(0),

p²F(p) – pf(0) – f (0) і т.д.

Якщо початкові умови рівні нулю, то взяття похідною від f(t) рівносильне множенню її зображення F(р) на оператор «p», тому оператор «p» часто називають оператором диференціювання;

5) теорема про інтеграли:

якщо , то і т.д.

Іншими словами, при нульових початкових умовах інтегрування q(0) = 0 взяття інтегралу від f(t) рівносильне діленню зображення f(p) на оператор р, який називається оператором інтегрування.

Значно спрощують застосування операторного методу таблиці відповідності f(t) F(p), для найбільш використовуваних в електротехніці функцій (табл. 4.1), що дозволяють без додаткових обчислень знаходити зображення F(p) за оригіналом f(t), а також f(t) за F(p).

Таблиця відповідності часових функцій і їх зображень за Лапласом

Таблиця 4.1.

f(t)|t > 0 при f(t)|t<0 = 0	F(p)		f(t)|t > 0 при f(t)|t<0 = 0	F(p)
1			sin ωt
t			cos ωt

f(t)|t > 0 при f(t)|t<0 = 0	F(p)
	при z < 1
, де	при z < 1

Пряме перетворення Лапласа з точністю до змінної збігається з прямим перетворенням Фур’є:

,

що дозволяє отримати зображення часових функ­цій в комплексній формі. Тому в практиці розрахунків електричних схем і кіл для переходу від комплекс­ної форми представлення функції F(jω) до її оператор­ного зображення F(p) достатньо простої заміни аргументу (jω) на аргумент (р). За цим правилом опори елементів електричного кола в операторній формі мають такий вид:

r(p) = r; x_С(р) = 1/(pС); x_L(p) = pL.

Здійснюючи таку заміну, можна перетворити зображення вхідної напруги u_вх(p) за звичними для кіл постійного струму законами, як і при комплексному зображенні цих величин.

Відзначимо, що в операторному виді, так же як і в комплексній формі, залишаються справедливими перший і другий закони Кірхгофа:

• для вузла: , де n – кількість операторних струмів, що надходять (відходять) до вузла;

• для контуру: , де n – число елементів схеми в даному контурі; m – число ЕРС, що входять до цього контуру.

Приклад № 4.4.

Розглянемо застосування операторного методу для розрахунку перехідних процесів в найпростішому rC-колі (див. рис. 4.1)

В момент t = 0 ключ К переводиться в положення 1, напруга U₀ підключається до rC-кола і починається заряд конденсатора С. Визначити закон зміни в часі напруги u_C(t).

Для цього скористуємось операторними зображеннями:

r(p) = r; x_С(р) = 1/(pС); u(t) u(р) = U₀ / p,

оскільки U₀ = const (згідно теореми лінійності f(t)·u(t) = 1 просто множиться на U₀).

Далі знаходимо струм в операторній формі:

,

що дозволяє отримати напругу в операторній формі:

.

Враховуючи, що U₀(p) = U₀ / p (див. табл. 4.1) маємо:

,

що відповідає оригіналу (див. табл. 4.1):

.

Такий же результат був отриманий раніше методом безпосереднього рішення диференціального рівняння першого порядку.

Розрахуємо перехідний процес для u_r(t):

; .

З урахуванням, що U₀(p) = U₀ / p маємо:

,

що співпадає з раніше отриманим результатом.

Приклад № 4.5.

Аналогічно для rL-кола (рис. 4.4), при переводі ключа К в положення 1 маємо:

; .

Враховуючи U₀(p) = U₀ / p остаточно знаходимо

,

що повністю відповідає раніше отриманому результату. Відзначимо, що його отримання звелося по суті до простих арифметичних дій.