2.5.1. Резонанс в послідовному колі.

Коло (рис. 2.27¹) живиться змінною напругою u = U_msin ωt. На схемі проставлені додатні напрямки струмів і напруг у середньоквадратичних значеннях.

Рис. 2.27.

В залежності від співвідношення частот ω і ω₀ можливі наступні варіанти: ω < ω₀ (до резонансу); ω = ω₀ (резонанс); ω > ω₀ (після резонансу). На рис. 2.27 цим варіантам відповідають векторні діаграми а), б) і в).

В п. 2.3.4 показано, що модуль повного опору такого кола дорівнює:

².

Підставляючи в цей вираз значення кругової частоти власних коливань в колі , отримаємо: . А це, в свою чергу, означає, що x_L рез = x_С рез, або, умножаючи на струм І₀ (струм при резонансі) будемо мати U_L = U_C. Звідси і назва резонансу – резонанс напруг.

Повний опір кола при резонансі z_рез = r = z_min.

Враховуючи, що за умов резонансу накопичена реактивна енергія – , а потужність, що розсіюється на активному опорі r – , то для послідовного включення активного опору, індуктивності і ємності добротність визначається виразом:

де називається характеристичним опором контуру.

І з останнього виразу випливає, що добротність характеризує ступінь перевищення реактивних опорів ω₀L і над активним опором r.

На наведеному малюнку зображені залежності струму від частоти для двох послідовних коливальних контурів з однаковою резонансною частотою але різними значеннями добротності, причому Q₁ > Q₂. Отже, як це ілюструється на малюнку, добротність може характеризувати так само ступінь «гостроти» резонансної кривої струму поблизу резонансної частоти в послідовному коливальному контурі.

Струм при резонансі: . Коефіцієнт потужності: cos φ_рез = r/z_min = r/r = 1, а зсув фаз між прикладеною напругою і струмом дорівнює φ_рез = 0.

При резонансі напруга на індуктивності дорівнює напрузі на ємності

U_L = U_C  I₀ x_L = I₀ x_C.

При великих значеннях x_L і x_C відносно r ці напруги можуть в багато разів перевищувати напругу живлення.

Напруга на активному опорі при резонансі дорівнює напрузі, що прикладена до кола U_R = I₀ r = U.

Оскільки резонанс напруг виникає, коли індуктивний опір послідовного кола дорівнює ємнісному, а їх значення визначаються відповідно індуктивністю, ємністю кола і частотою живлення (x_L = ωL і x_C = 1/(ωC)), то резонанс може бути досягнутий або шляхом підбору параметрів кола при заданій частоті живлення, або шляхом підбору частоти живлення при заданих параметрах кола.

В інтервалі частот ω = 0  ω_рез навантаження має активно-ємнісний характер, струм випереджає за фазою напругу живлення.

В інтервалі частот ω = ω_рез   навантаження має активно-індуктивний характер, струм відстає за фазою від напруги живлення.

Найбільше значення напруги на ємності отримується при частоті трохи меншій за резонансну, а на індуктивності – на частоті трохи більшій за резонансну.

Самостійно дослідити залежності струму, напруг на елементах кола та коефіцієнта потужності від частоти ω можна, скориставшись математичною моделлю, наведеною нижче на листку MathCAD¹. Змінюючи значення параметрів кола (r, C, L, U) у верхньому рядку листка і відслідковуючи зміни на поєднаних графіках I = I(ω), U_r = U_r(ω), U_L = U_L(ω), U_C = U_C(ω) і cos φ = cos φ(ω) можна впевнитись у викладених відомостях.

Отже, при резонансі напруг можливе значне підвищення напруг на реактивних елементах кола. Ця напруга може значно перевищувати напругу джерела живлення.

Підвищення напруги (перенапруга) на окремих ділянках кола, якщо воно заздалегідь не враховано, є небезпечним для цілісності ізоляції електричної установки. Це шкідливий бік резонансу.

В ряді областей електротехніки резонанс напруг знаходить корисне застосування. Коливальні контури, наприклад, є обов’язковою частиною радіотехнічних пристроїв. Зокрема, настройка радіоприймача полягає в тому, щоб шляхом зміни ємності С або індуктивності L досягнути збігу частоти коливального контуру в приймачі з частотою генераторів радіостанції.