1.2.4.3. Метод вузлових напруг.

Коли електричне коло складається з великої кількості контурів при невеликій кількості вузлів, його розрахунок доцільно здійснювати методом вузлових напруг (методом вузлових потенціалів). Іншими словами, якщо для схеми (n – 1) < (m – n + 1), де m, n  – кількість віток і вузлів схеми відповідно, то переважним є метод вузлових напруг.

Метод вузлових напруг також базується на методі безпосереднього використання законів Кірхгофа, в якому із загальної системи рівнянь виключені рівняння, складені за другим законом Кірхгофа, шляхом введення нових допоміжних невідомих – вузлових напруг.

Якщо кількість вузлів в схемі n, то кількість рівнянь, необхідних для розрахунку такого кола дорівнює (n – 1). Невідомими величинами в цих рівняннях є так звані вузлові напруги. У відповідності з цим методом, вузли схеми нумерують в довільному порядку, починаючи із нуля. Потенціал в нульовому вузлі приймають рівним нулю. Інші вузли схеми будуть мати відносно зазначеного вузла відповідно вузлові напруги U₁, U₂, …, U_{n – 1}.

Струм в кожній вітці схеми визначається напругами, прикладеними до вузлів вітки (вузловими напругами), ЕРС, якщо вітка їх містить і опором вітки.

Далі, використовуючи вирази для струмів, складають рівняння за першим законом Кірхгофа для кожного вузла схеми за виключенням вузла з нульовою напругою. Сукупність таких рівнянь утворює систему рівнянь відносно невідомих вузлових напруг.

Н а рис. 1.25 показані (n + 1) вузлів із вказаними позитивними напрямками вузлових напруг.

При складанні рівняння для будь-якого і-го вузла можна скористатись вже готовою універсальною формулою:

,

за якою:

• добуток вузлової напруги в і-тому вузлі на суму провідностей віток між і-тим і кожним із сусідніх з і-тим j-ми вузлами,

• мінус сума добутків вузлових напруг в кожному j-му сусідньому з і-тим вузлі на провідність вітки між цим вузлом і і-тим,

• дорівнює сумі добутків ЕРС у вітці між і-тим і кожним сусіднім з і-тим j-му вузлі (якщо вона є у цій вітці) на провідність цієї вітки.

Складові Е_ij беруться із знаком «+», якщо ЕРС направлена до і-го вузла і із знаком «–», якщо вона направлена від і-го вузла.

Розв’язавши систему відносно U_і, можна визначити струми у вітках.

Розглянемо розрахунок електричного кола за цим методом на прикладі схеми, наведеній на рис. 1.20. Значення параметрів прийняті такі ж, як і у попередніх прикладах.

1. Довільно пронумеруємо вузли схеми, починаючи з нуля. За нульовий приймаємо вузол с (рис. 1.20). Потенціал у нульовому вузлі покладаємо рівним нулю і проставляємо позитивні напрямки вузлових напруг U_I, U_II, U_III (рис. 1.26-а).

2. Для n – 1 = 3 вузлів, використовуючи наведену формулу, складаємо загальну систему рівнянь одразу в канонічній формі:

• для вузла І:

• для вузла ІІ:

• для вузла ІІІ:

Підставляючи числові значення опорів і ЕРС отримуємо закінчений вигляд системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

0 ,278788U_I – 0,04545U_ІІ – 0,06667U_ІІІ = 0,54545455

–0,04545U_I + 0,228788U_ІІ – 0,08333U_ІІІ = –0,54545455

–0,06667U_I – 0,08333U_ІІ + 0,178571U_ІІІ = –0,57142857

Відзначимо, що матриця коефіцієнтів отриманої системи, як і в попередньому випадку, симетрична.

Розв’язуючи дану систему відносно U_I, U_II, U_III, одержуємо:

U_I = 0,020988 В; U_II = –4,26813 В; U_III = –5,18396 В.

3. Використовуючи другий закон Кірхгофа, визначаємо напругу на елементах схеми. Для цього на схемі крім позитивних напрямів вузлових напруг позначимо ще й напруги на всіх резисторах (рис. 1.26-б). Тоді:

U_III – U₁ – U_IІ = 0  U₁ = U_IІІ – U_II = –5,18396 В –(–4,26813 В) = –0,91583 В;

U_III + U₂ + E₂ = 0  U₂ = –U_III – E₂ = –(–5,18396 В) – 20 В = –14,81604 В;

U_I + U₃ – E_к – E₃ – U_II = 0  U₃ = E_к + E₃ + U_II – U_I = 12 В + (–4,26813 В) – 0,020988 В = 7,710879 В.

U₄ = –U_I = –0,020988 В;

U₅ = U_II = –4,26813 В;

U_III + U₆ – U_I = 0  U₆ = U_I – U_III = 0,020988 В –(–5,18396 В) = 5,204948 В;

За законом Ома знаходимо струми у вітках:

I₁ = U₁/R₁ = –0,91583/12 = –0,076319 A;

I₂ = U₂/R₂ = –14,81604/35 = –0,42332 A;

I₃ = U₃/R₃ = 7,710879/22 = 0,35049 A;

I₄ = U₄/R₄ = –0,020988/6 = –0,0035 A;

I₅ = U₅/R₅ = –4,26813/10 = –0,42681 A;

I₆ = U₆/R₆ = 5,204948/15 = 0,346997 A.

4. Перевірку балансом потужностей не виконуємо, оскільки отримані результати розрахунку схеми методом вузлових напруг повністю збігаються із попередніми.

Робочий листок MathCAD визначення струмів для конкретних значень вихідних даних наведеної схеми може мати вид:

Розв’язання системи рівнянь AU = B

Ще раз зауважимо, що попередню перевірку правильності складання рівнянь за методами контурних струмів і вузлових напруг можна здійснити на стадії їх складання. Матриця коефіцієнтів рівнянь цих методів завжди симетрична, причому головні коефіцієнти у рядку більше суми побічних.