1.2.4. Розрахунок складних кіл постійного струму.

1.2.4.1. Безпосереднє використання законів Кірхгофа для розрахунку складних кіл.

Універсальним методом розрахунку складних кіл є метод безпосереднього використання першого закону Кірхгофа для вузлових точок і другого закону Кірхгофа для замкнутих контурів схеми.

Всі ЕРС, струми і опори будь-якої вітки пов’язані між собою рівняннями, що визначаються законами Кірхгофа. Цей зв’язок враховує не тільки величини ЕРС і струмів, а і їх напрямки.

Якщо відомими є величини ЕРС і їх напрямки, а також опори складного кола, то застосовуючи закони Кірхгофа можна скласти стільки незалежних рівнянь, скільки невідомих струмів в цьому колі. Ці рівняння утворюють систему лінійних алгебраїчних рівнянь, розв’язавши яку можна отримати значення невідомих струмів.

Для складання рівнянь необхідно попередньо позначити на схемі довільно обрані додатні напрямки невідомих струмів. Якщо в результаті розв’язання складеної системи рівнянь знайдена величина струму має знак “+”, то це означає, що його фактичний напрямок співпадає з довільно обраним. В протилежному випадку фактичний напрямок струму протилежний обраному напрямку.

За першим законом Кірхгофа завжди складається (n – 1) рівняння, де n – число вузлів схеми. Якщо схема містить n вузлів, то незалежних рівнянь можна скласти тільки для (n – 1) вузлів. Рівняння, складене для останнього n–го вузла, буде комбінацією вже складених рівнянь (тобто лінійно залежним) і не дозволить отримати рішення, оскільки система, що містить залежні рівняння, має нескінченну кількість рішень

Оскільки для розв’язання системи необхідно, щоб кількість незалежних рівнянь дорівнювало кількості невідомих в даному випадку струмів, рівняння, яких за кількістю бракує, складають за другим законом Кірхгофа для будь-яких незалежних (m – n + 1) контурів схеми (де m – число віток схеми). Якщо кожний новий контур містить хоча б одну вітку, що не входить у попередні, то такі контури називаються незалежними.

Розрахунок складного кола через рівняння Кірхгофа виконується в такій послідовності:

1. При можливості спрощують розрахункову схему (наприклад, можна замінити кілька паралельно з’єднаних опорів одним еквівалентним опором);

2. Позначають на схемі відомі напрямки ЕРС;

3. Позначаються довільно обрані позитивні напрямки струмів на опорах і відповідно до них позитивні напрямки напруг;

4. Складають рівняння за першим законом Кірхгофа для всіх вузлових точок, крім однієї;

5. Складають рівняння за другим законом Кірхгофа для будь-яких (m – n + 1) контурів схеми;

6. Об’єднують дві отримані системи рівнянь в одну, порядок якої дорівнює числу невідомих струмів в схемі; розв’язують складену систему рівнянь і визначають невідомі струми. Якщо значення деяких струмів від’ємні, то це означає, що їх фактичний напрямок протилежний умовно прийнятому для них напрямку на початку розрахунку.

7. Правильність розрахунку перевіряють за балансом потужностей:

,

де k – кількість джерел ЕРС в колі, p – кількість опорів в колі.

Добуток Е_iІ_i береться із знаком «–», якщо струм джерела ЕРС спрямований проти дії ЕРС, в цьому випадку джерело ЕРС є споживачем електричної енергії.

Приклад. Для схеми, показаної на рис. 1.20, використовуючи закони Кірхгофа, скласти систему рівнянь для визначення струмів у вітках, якщо задані ЕРС, опори та J_к.

Розв’язання.

1. Оскільки в схемі існує джерело струму J_к, підключене паралельно опору R₃, замінюємо його еквівалентною ЕРС Е_к із внутрішнім опором R₃: Е_к = R₃ J_к (див. п. 1.1.2, табл. 1.1).

2. В результаті схема перетворюється на розрахункову, показану на рис. 1.21,

3. На отриманій схемі проставляємо позитивні напрямки струмів і напруг.

4. Для n – 1 = 3 вузлів схеми за першим законом Кірхгофа складаємо систему рівнянь:

І ₆ + І₂ – І₁ = 0, для вузла a;

–I₆ + І₄ + І₃ = 0, для вузла b;

–І₂ – І₄ + І₅ = 0, для вузла с.

5. Для контурів І, ІІ, ІІІ за другим законом Кірхгофа складаємо систему рівнянь:

– U₆ – U₄ + U₂ = –E₂, для контуру І;

–U₂ – U₅ – U₁ = E₂, для контуру ІІ;

–U₃ + U₅ + U₄ = –E_к – E₃, для контуру ІІІ.

6. Об’єднуючи рівняння, отримані у п.4 та п.5, одержуємо нову систему:

І ₆ + І₂ – І₁ = 0;

–I₆ + І₄ + І₃ = 0;

–І₂ – І₄ + І₅ = 0;

–R₆ I₆ – R₄ I₄ + R₂ I₂ = –E₂;

–R₂ I₂ – R₅ I₅ – R₁ I₁ = E₂;

–R₃ I₃ + R₅ I₅ + R₄ I₄ = –E_к – E₃,

яка в канонічній формі матиме вигляд:

–І ₁ + І₂ + 0 + 0 + 0 + І₆ = 0;

0 + 0 + І₃ + І₄ + 0 – I₆ = 0;

0 – І₂ + 0 – І₄ + І₅ + 0 = 0;

0 + R₂ I₂ + 0 – R₄ I₄ + 0 – R₆ I₆ = –E₂;

–R₁ I₁ – R₂ I₂ + 0 + 0 – R₅ I₅ + 0 = E₂;

0 + 0 – R₃ I₃ + R₄ I₄ + R₅ I₅ + 0 = –E₃ – E_к,

За заданих вихідних значень E₂ = 20 В; E₃ = 7,6 В; J_К = 0,2 А; R₁ = 12 Ом; R₂ = 35 Ом; R₃ = 22 Ом; R₄ = 6 Ом; R₅ = 10 Ом; R₆ = 15 Ом після розв’язання складеної системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих струмів отримаємо: І₁ = –0,07632 А; І₂ = –0,42332 А; І₃ = 0,35049 А; І₄ = –0,0035 А; І₅ = –0,42681 А; І₆ = 0,34700 А.

Зауважимо, що для рішення навчальних завдань з розрахунку електричних кіл зручно користуватись математичним пакетом. Нижче наводиться робочий листок MathCAD із необхідними розрахунками:

   

7. Для перевірки правильності розрахунку складаємо баланс потужностей. Знак «–» у значенні І₂ вказує на те, що фактичний напрямок струму протилежний вказаному на схемі і збігається напрямком ЕРС Е₂. Отже, повинно бути справедливим співвідношення:

Е₂(–І₂) + (Е₃ + Е_к)І₃ = І₁²R₁ + І₂²R₂ + І₃²R₃ + І₄²R₄ + І₅²R₅ + І₆²R₆  200,42332 + 120,35049 = (–0,07632)²12 + (–0,42332)²35 + 0,35049²22 + (–0,0035)²6 + (–0,42681)²10 + 0,34700²15  12,67224 = 12,67224.

Як виходить з наведеного прикладу, для визначення невідомих величин класичним методом, тобто методом безпосереднього використання законів Кірхгофа, необхідно розв’язати систему із шести рівнянь із шістьома невідомими. При складніших схемах і, відповідно, системах рівнянь більш високих порядків об’єм розрахункової роботи збільшуються. В цих випадках слід застосовувати методи контурних струмів та вузлових напруг. Якщо треба визначити струм тільки в одній із віток схеми, доцільно застосовувати метод еквівалентного генератора.