1.2.4.2. Метод контурних струмів.

Метод контурних струмів використовує той факт, що не всі струми у вітках кола є незалежними. Наявність у системі рівнянь, складеній на основі безпосереднього використання законів Кірхгофа, (n−1) рівнянь для вузлів означає, що залежні (n−1) струмів. Якщо виділити в колі (m – n + 1) незалежних струмів, то систему можна скоротити до (m – n + 1) рівнянь (m, n  – кількість віток і вузлів схеми відповідно).

Метод контурних струмів полягає в простому способі виділення в колі (m – n + 1) незалежних струмів і заснований на припущенні, що в кожному з (m – n + 1) незалежних контурів схеми циркулює деякий віртуальний контурний струм. Якщо окрема вітка належить тільки одному контуру, фактичний струм у ній дорівнює контурному. Якщо ж вітка належить кільком контурам, струм у ній дорівнює алгебраїчній сумі відповідних контурних струмів. Оскільки незалежні контури покривають собою всю схему (тобто будь-яка вітка належить хоча б одному контуру), то струм у будь-якій вітці можна виразити через контурні струми, і контурні струми становлять повну систему струмів.

Ф ормально метод базується на методі безпосереднього використання законів Кірхгофа, в якому із загальної системи рівнянь виключені рівняння, складені за першим законом Кірхгофа, шляхом введення нових допоміжних невідомих – контурних струмів. При цьому перший закон Кірхгофа, звичайно завжди задовольняється.

Кількість рівнянь, складених за методом контурних струмів, дорівнює (m – n + 1), де m, n  – кількість віток і вузлів схеми відповідно. При розрахунку складних кіл, що складаються з великої кількості вузлів, метод контурних струмів є переважним, оскільки дозволяє скоротити загальну кількість рівнянь в системі.

Кожному контуру схеми умовно приписують довільно направлений контурний струм, однаковий для всіх ділянок цього контуру – І_І, І_ІІ, …, I_l, …, І_k (див. рис 1.22). У вітках, які є спільними для двох суміжних контурів, фактичний струм дорівнює алгебраїчній сумі двох контурних струмів.

Рівняння для кожного l-го контуру схеми, складене за другим законом Кірхгофа при вказаних на рис. 1.22 позитивних напрямках контурних струмів має вид:

Тут позитивними приймаються ЕРС, що збігаються з напрямком контурних струмів.

Сутність методу розглянемо на прикладі схеми складного кола (рис. 1.20, 1.23) з вузлами a, b, c, d.

Вихідні дані: E₂ = 20 В; E₃ = 7,6 В; Е_К = 4,4 В; R₁ = 12 Ом; R₂ = 35 Ом; R₃ = 22 Ом; R₄ = 6 Ом; R₅ = 10 Ом; R₆ = 15 Ом.

В икористовуючи метод контурних струмів, необхідно визначити струми у вітках кола.

Розв’язання:

1. Ця схема включає три контури abca (І), bdcb (ІІ), acda (ІІІ). На схемі проставляємо довільно обрані позитивні напрямки контурних струмів І_І, І_ІІ, І_ІІІ.

2. За наведеним вище виразом рівняння для окремого контуру складаємо систему рівнянь. Кількість рівнянь визначається формулою (m – n + 1) = 6 – 4 + 1 = 3, що збігається із кількістю контурів схеми.

Система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно невідомих контурних струмів має вигляд:

(R₆ + R₄ + R₂)I_I – R₄I_II – R₂I_III = –E₂ – для контуру abca (І);

–R₄I_I + (R₄ + R₃ + R₅) I_II – R₅I_III = –E_к – E₃ – для контуру bdcb (ІІ);

–R ₂I_I – R₅I_II + (R₂ + R₅ + R₁) I_III = E₂ – для контуру acda (ІІІ).

Тут: (R₆ + R₄ + R₂) – повний опір контуру abca (перший контур, l = 1); (R₄ + R₃ + R₅) − повний опір контуру bdcb (l = 2); (R₂ + R₆ + R₁) – повний опір контуру acda (l = 3). Ці компоненти відповідають у наведеному вище рівнянні виразу . R₄ – опір суміжної вітки між першим і другим контурами; R₅ – опір суміжної вітки між другим і третім контурами; R₂ – опір суміжної вітки між першим і третім контурами. Сума їх добутків на відповідні контурні струми відповідають у наведеному вище рівнянні виразу . E₂ – контурна ЕРС першого контуру; +E_к + E₃ – контурна ЕРС другого контуру; −E₂ − контурна ЕРС третього контуру. Ці компоненти відповідають у наведеному вище рівнянні виразу .

Підставляючи числові значення опорів резисторів R і ЕРС в складену систему рівнянь, маємо:

5 6 I_I – 6 I_II – 35 I_III = –20;

–6 I_I + 38 I_II – 10 I_III = –12;

–35 I_I – 10 I_II + 57 I_III = 20.

С лід відзначити, що матриця коефіцієнтів отриманої системи рівнянь завжди симетрична. Це зовнішня ознака правильності її складання. Якщо матриця несиметрична, то система рівнянь складена невірно.

Розв’язуючи систему рівнянь відносно І_І, І_ІІ, І_ІІІ, одержуємо:

І_І = –0,347 А; І_ІІ = –0,35049 А; І_ІІІ = 0,07632 А.

3. Визначаємо фактичні струми у вітках схеми через контурні. Для цього на схемі (рис. 1.23) довільно проставляємо позитивні напрямки струмів у вітках (рис. 1.24).

Струми зовнішніх віток І₁, І₃ і І₆ дорівнюватимуть значенням відповідних контурних струмів із урахуванням прийнятим напрямкам:

І₁ = –І_ІІІ = –0,07632 А;

І₃ = –І_ІІ = 0,35049 А;

І₆ = –І_І = 0,347 А.

Струми у вітках, що належать двом контурам – І₂, І₄ і І₅, визначаються, як зазначалось вище, через алгебраїчну суму двох контурних струмів:

І₂ = І_І – І_ІІІ = –0,347 – 0,07632 = –0,42332 А, оскільки напрямок І_І збігається із напрямком І₂, а І_ІІІ – протилежний.

Аналогічно:

І₄ = І_ІІ – І_І = –0,35049 + 0,347 = –3,4979510^–3 А;

І₅ = І_ІІ – І_ІІІ = –0,35049 – 0,07632 А = –0,42681 А.

4. Для перевірки правильності розрахунку схеми складається баланс потужностей, але оскільки така ж сама схема вже була розрахована методом безпосереднього використання законів Кірхгофа і отримані обома методами результати повністю збігаються, то тут перевірка не наводиться.

Нагадаємо, що при безпосередньому використанні законів Кірхгофа для розрахунку цієї схеми необхідно було розв’язати систему з шести рівнянь.

Для розв’язання рівнянь методу контурних струмів використані засоби математичного пакету MathCAD.

Робочий листок MathCAD визначення струмів для конкретних значень вихідних даних для наведеної схеми може мати вид:

^*Тут в листку MathCAD індекси як продовження імені (І₁, І₂, І₃, І₄, І₅, І₆) надруковані більшим розміром шрифту ніж індекси як номери елементів масиву (І₁, І₂, І₃).