Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Частина 1.doc
Скачиваний:
8
Добавлен:
17.11.2019
Размер:
3.57 Mб
Скачать

4.2. Загальні принципи аналізу перехідних процесів

Математичний аналіз перехідних процесів в електричних колах базується на тому, що закони Кірхгофа слушні як до сталих, так і до несталих режимів. Використовуючи закони Кірхгофа для вузлових точок і замкнутих контурів, можна отримати для перехідного процесу лінійні диференціальні рівняння. За цими рівняннями визначають значення струмів і напруг в будь-який момент часу процесу. Значення постійних інтегрування знаходять з граничних умов, що визначаються законами комутації.

Для спрощення розв’язання диференційних рівнянь і полегшення їх аналізу перехідні процеси прийнято розглядати як результат накладання двох режимів – примусового і вільного. Відповідно з цим дійсний (фактичний) струм в колі і уявляється як сума двох складових: примусового струму іпр, який встановлюється в колі після закінчення перехідного процесу, і вільного струму івіл, що протікає в колі тільки під час перехідного процесу і = івіл + іпр.

Вільний струм поступово вщухає і при режимі, що встановився (t = ) стає рівним нулю. Тоді і| t = = іпр.

Оперуючи в розрахунках примусовою і вільною складовими, необхідно пам’ятати, що реально існуючими величинами є не окремі складові, а результуючі струми (або напруги).

4.3. Комутація напруги в rC-колі.

Приклад № 4.1.

Розглянемо просте коло, яке підключено до джерела постійної напруги U0 (рис. 4.1).

а) б)

Рис. 4.1.

Нехай в початковому стані ключ К знаходиться в стані 2 (рис. 4.1-а). При цьому конденсатор не заряджений, uC(0) = 0 і струм через опір r дорівнює нулю.

В момент часу t = 0 ключ К переводиться в стан 1, при якому до rC-кола підключається постійна напруга u(0) = U0 і конденсатор починає заряджатись через опір r струмом i від джерела U0. Коли напруга на конденсаторі дорівнюватиме напрузі U0, процес заряду конденсатора закінчується і зарядний струм стане рівним нулю. Диференціальне рівняння, складене для утвореного при перемиканні ключа кола за другим законом Кірхгофа для t ≥ 0, має вид:

де добуток τ = r·C визначає закономірність зміни у часі напруги на конденсаторі.

Це диференціальне рівняння першого порядку, рішення якого звичайно знаходиться у виді uC = А2ept + А1, де А1, А2 – деякі константи, які визначаються з початкових умов (при = 0) і режиму, що встановиться (при t → ∞), а р – корінь характеристичного рівняння τр + 1 = 0, тобто p = –1/τ. При t → ∞ uC(∞) = U0, звідки А1 = U0. При t = 0 uC(0) = 0 = А2 + А1 = А2 + U0, звідки А2 = – U0.

З урахуванням отриманих значень А1 і А2 рішення матиме вид:

.

Із складеного попередньо рівняння:

Величина τ = rC називається постійною часу rC-кола і характеризує швидкість протікання процесу заряду конденсатора. Вимірюється τ в секундах і співвідноситься із параметрами елементів кола так: 1 сек = 1Ом·1 Ф.

Значення струму і напруг при t = τ становитимуть:

uC|t = τ = 0,63·U0; ur|t = τ = 0,37·U0; i|t = τ = 0,37·I0,

при t = 2τ становитимуть:

uC|t = 2τ = 0,865·U0; ur|t = 2τ = 0,135·U0; i|t = 2τ = 0,135·I0,

при t = 3τ становитимуть:

uC|t = 3τ = 0,95·U0; ur|t = 3τ = 0,05·U0; i|t = 3τ = 0,05·I0.

Отже при t = 3τ напруга uC відрізнятиметься від остаточного значення U0 лише на 5%. Тому прийнято вважати, що при t ≥ 3τ перехідний процес заряду вже закінчився, а час tп = 3τ прийнято вважати тривалістю перехідного процесу в rC-колі.

Визначається τ через величини r і C. При невідомих величинах r і C значення τ може бути визначено графічно, наприклад за осцилограмою перехідного процесу, як інтервал часу між моментом підключення U0 і моментом, коли uC дорівнюватиме 0,63·U0.

П риклад № 4.2.

Вихідний стан – конденсатор повністю заряджений до величини U0 і перехідні процеси заряду закінчені. Ключ К переводиться в положення 2 (рис. 4.2). Конденсатор почне розряджатись через резистор r. За деякий час перехідний процес розряду завершиться сталим режимом: uC|t = ∞ = 0; ur|t = ∞ = 0; i|t = ∞ = 0.

За другим законом Кірхгофа при t ≥ 0 (де t = 0 – момент переводу ключа К в положення 2):

0 = uruC = iruC1,

де , і тоді рівняння за другим законом Кірхгофа можна записати у виді:

.

Враховуючи, що , остаточно матимемо:

Використовуючи загальне рішення звичайного диференціального рівняння першого порядку (див. приклад № 1), знаходимо постійні C1 і C2.

При t → ∞ uC(∞) = 0, звідки А1 = 0; при t = 0 uC(0) = U0 = А2 + А1, звідки А2 = U0, що дозволяє записати такі вирази для uC, ur, i:

Отримані вирази повністю описують процес розряду конденсатора. При t = 3τ напруга uC|t = = 5%·U0, тому можна вважати, що при t ≥ 3τ перехідний процес розряду вже закінчився.

Важливим для практики є аналіз перехідних процесів в rC-колі при дії імпульсу прямокутної форми. при цьому суттєве значення має співвідношення тривалості імпульсу (tі) і постійної часу кола (τ). На рис. 4.3-а показані графіки зміни напруг uC і uR при τ << tі, а на рис. 4.3-б – графіки зміни цих напруг при τ >> tі.

При аналізі вхідний імпульс прямокутної форми Uвх розглядається як сукупність двох стрибків напруг (U1 і U2), тобто Uвх = U1 + U2.

При τ << tі конденсатор встигає повністю зарядитись за час tі, але оскільки зарядний струм при цьому зменшується до нуля, то і напруга на опорі R (uR) падає до нуля. в момент t2 повністю заряджений до U0 конденсатор розряджається через опір R, створюючи імпульс розряду від’ємної полярності.

При τ >> tі конденсатор за час tі встигає зарядитись лише до невеликої величини Ucm. На це ж значення зменшиться напруга uR і стає в момент часу t2 рівною (U0Ucm). Після закінчення дії імпульсу конденсатор розряджається, створюючи на опорі імпульс від’ємної полярності, рівний –Ucm. по мірі розряду конденсатора uС і uR поступово зменшується до нуля.

а) б)

Рис. 4.3.

Якщо подумки продиференціювати вхідний імпульс Uвх(t), вважаючи, що Uвх(t) не зростає і не спадає миттєво, то графік зміни ur за формою нагадує похідну сигналу Uвх(t). Чим менше τ, тим більша ця схожість. Прийнято вважати, що для вхідного прямокутного імпульсу напруги тривалістю tі напруга uR пропорційна похідній вхідного сигналу, якщо τ ≤ 0,1·tі, і таке rC-коло називається диференціюючим.

Якщо ж проаналізувати інтеграл вхідної напруги Uвх(t) за час tі, то він уявляє собою лінійно зростаючу функцію, що за формою схожа на лінійно зростаючу напругу uС у випадку τ >> tі. Тому напругу на конденсаторі прийнято вважати пропорційною інтегралу вхідного прямокутного імпульсу, якщо τ ≥ 10·tі, і таке коло називається інтегруючим.

Відзначимо, що диференціюючі кола в електронній техніці часто використовується як формувачі гострокінцевих імпульсів, а інтегруючі кола складають основу електронних схем для генерування напруг, що змінюються лінійно.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]