6.5.2. Эффективное значение погрешности

Энтропийным значением погрешности считается значение погрешности с равномерным законом распределения, которое вносит такое же дезинформационное действие, что и погрешность с данным законом распределения вероятностей. Математически это выглядит так.

Если погрешность с произвольным законом распределения вероятностей имеет энтропию , то эффективный интервал неопределенности вне зависимости от вида закона распределения будет равен

, (6.5.6)

а энтропийное значение погрешности, определяемое как половина от интервала неопределенности, будет равно

. (6.5.7)

В результате введения понятия энтропийного значения погрешности появляется возможность любую погрешность с произвольным законом распределения всегда заменить погрешностью с резко ограниченным равномерным распределением с тем же значением энтропии. Это позволяет заменить реальную полосу погрешностей с плавными спадами плотности вероятности полностью эквивалентной ей в информационном смысле резко ограниченной полосой погрешностей с равномерным распределением вероятностей.

6.6. Сравнение энтропийного и среднеквадратического значений погрешности для плавных симметричных одномодальных законов распределения погрешностей

Зависимость между энтропийным и среднеквадратическим значениями погрешности может быть представлена как , где коэффициент подобен коэффициенту формы, связывающему действующее и среднее значения электрического тока.

Коэффициент зависит от вида закона распределения вероятностей погрешности, так как погрешности с одним и тем же среднеквадратическим значением , но с разными распределениями вероятностей оказывают различное дезинформационное действие. Поэтому действие помехи удобно охарактеризовать не ее действительной мощностью , а энтропийной мощностью, т.е. той частью мощности, которая вызывает потерю информации. Исходя из этого, можно дать определение коэффициента .

Коэффициент , равный отношению энтропийной погрешности  к значению среднеквадратической погрешности для данного закона распределения, называется энтропийным коэффициентом данного закона распределения вероятностей.

Наибольшей энтропией при заданном значении мощности, т.е. наибольшим помехосодержанием, из всех возможных в природе законов распределения вероятностей обладает нормальное распределение. Поэтому оно имеет наибольший, предельно возможный энтропийный коэффициент, равный, согласно выражению (6.5.5),

. (6.6.1)

Любое другое распределение, отличное от нормального, может иметь энтропийный коэффициент, только меньший этого значения. Так, например, для равномерного закона распределения среднеквадратическое значение погрешности равно . Отсюда энтропийный коэффициент равномерного распределения

. (6.6.2)

Связь энтропийного коэффициента энтропийной мощности помехи Р_Э определяется соотношением

, (6.6.3)

где – энтропийный коэффициент нормального распределения,  – полная мощность помехи.

Так как соотношение между энтропийным и среднеквадратическим значениями погрешности определяется величиной энтропийного коэффициента , то сравнение этих значений погрешности сводится к исследованию величины энтропийного коэффициента для различных законов распределения вероятности погрешностей.

Распределения погрешности у различных приборов могут отличаться только своей островершинностью или плосковершинностью.

Как было указано выше, энтропийный коэффициент является функцией отношения энтропийной мощности Р_Э помехи (погрешности) к ее полной мощности Р. Поэтому при исследовании значения этого коэффициента представляется целесообразным и за параметр характеризующий законы распределения, принять не значение четвертого момента или эксцесса законов, а их относительную энергетическую характеристику. Поэтому примем для характеристики островершинности распределения не величину эксцесса, а величину, обратную корню квадратному из относительного четвертого момента , изменяющуюся в пределах от 0 до +1.

Для исследования характера изменения энтропийного коэффициента при эволюции закона распределения погрешности от нормального до островершинного с бесконечно большим эксцессом в качестве закона распределения плотности вероятности удобно использовать выражение

(6.6.4)

При изменении а от 2 до 0 это выражение поочередно описывает различные законы распределения. При а = 2 оно дает нормальный закон распределения, а при а  0 – распре­деление с бесконечно возрастающим положительным эксцессом. Поэтому определение энтропии , среднеквадратического отклонения а и четвертого момента ₄ для этих распределений при различных значениях а позволит найти и проследить все изменения энтропийного коэффициента при эволюции закона распределения от островершинного до нормального.

При эволюции закона распределения вида с изменением а будет меняться и нормирующий множитель А как функция от a. Найдем эту функцию.

Условием нормирования является

.

Тогда имеем

Учитывая, что , где – гамма-функция, получаем

и (6.6.5)

Определим энтропию этого распределения

(6.6.6)

Отсюда

. (6.6.7)

Определим дисперсию этого распределения

(6.6.8)

Отсюда

(6.6.9)

Определим четвертый центральный момент этого рас­пределения:

(6.6.10)

Таким образом, энтропийный коэффициент для эволюции закона распределения вероятностей от нормального до распределения с большим значением положительного эксцесса выражается соотношением

(6.6.11)

а значение – равенством

(6.6.12)

Результаты вычисления значений и представлены в табл. 6.6.1.

Таблица 6.6.1

0,00	0,000	0,30	1,677
0,01	0,157	0,31	1,703
0,02	0,269	0,32	1,728
0,03	0,366	0,33	1,753
0,04	0,457	0,34	1,778
0,05	0,535	0,35	1,803
0,06	0,610	0,36	1,826
0,07	0,681	0,37	1,847
0,08	0,749	0,38	1,868
0,09	0,811	0,39	1,889
0,10	0,870	0,40	1,907
0,11	0,928	0,41	1,925
0,12	0,982	0,42	1,940
0,13	1,035	0,43	1,955
0,14	1,086	0,44	1,969
0,15	1,135	0,45	1,983
0,16	1,183	0,46	1,995
0,17	1,229	0,47	2,006
0,18	1,273	0,48	2,015
0,19	1,315	0,49	2,024
0,20	1,355	0,50	2,032
0,21	1,393	0,51	2,039
0,22	1,431	0,52	2,045
0,23	1,466	0,53	2,051
0,24	1,500	0,54	2,060
0,25	1,532	0,55	2,060
0,26	1,563	0,56	2,063
0,27	1,593	0,57	2,065
0,28	1,622	0,575	2,066
0,29	1,650