5.6. Эквивалентность между фильтрацией и алгоритмическим измерением

Цифровые алгоритмические измерения используют аппаратурный прием при проектировании современной цифровой аппаратуры, поэтому для реализации алгоритмичес­кого измерения на сигнальном микропроцессоре необходимо спроектировать цифровую измерительную шкалу и организовать вычислительный процесс для проверки отношения эквивалентности.

Для построения теории необходимо учесть, что между алгоритмическим измерением и фильтрацией существует определенная эквивалентность. Про­иллюстрируем на примере спектрального анализа с привлече­нием математической процедуры отношения эквивалентности. Пусть S₁ – множество сигналов с ограниченной энергией:

, (5.6.1)

тогда дискретное преобразование Фурье F_N: S₁  S₂ есть отображение в другое множество функций с конечной энергией

, (5.6.2)

где – безразмерное время; – безразмерная час­тота; . Точность алгоритма измерения зависит от выполнения энергетического равенства (теорема Парсеваля)

. (5.6.3)

Отношение эквивалентности задается двумя соотношениями:

(5.6.4)

(5.6.5)

Поскольку в (5.6.4) функция метрологически кодирована по величине и по аргументу в системе АЦП – ЦП, отображение F_n :S₁S₂ можно рассматривать как метрологически коди­рованный вычислительный процесс измерения спектра сигнала. Поясним. Если система АЦП – ЦП программируется для спектрального анализа, то используется при программировании именно соотношение (5.6.4), поскольку система работает в масштабе времени и на вход этой системы подается аналоговый сигнал. Однако равноценно говорить об измерении в частотной или во временной областях. Следо­вательно, цифровую измерительную шкалу можно проекти­ровать как в частотной, так и во временной областях.

При цифровых алгоритмических измерениях удобно использовать цилиндрические шкалы на плоскости комплексной переменной . В этом случае под результатом измерения понимают точные или прибли­женные значения z-преобразования цифрового сигнала для заданных значений z. Если через полярный угол выразить , т.е. для каждой точки на окружности единич­ного радиуса, то найдем

(5.6.6)

Сравнивая (5.6.4) и (5.6.6), можно заметить, что спектральные коэффициенты дискретного преобразования Фурье временной последовательности конечной длины равны значениям z-преобразования этой же последовательности в точках, равномерно распределенных по единичной окружности.

Покажем, что измерение спектра в одной точке z = z₁ эквивалентно фильтрации. Во многих приложениях, в частности, когда спектр сигнала меняется во времени, приходится измерять обобщенный спектр X_n(z₁) для последовательных значений п, т.е. значения X₀(z_l), X₁(z₁), X₂(z₁) и т.д. Такой способ измерения называют скользящим спектральным измерением. Оно обеспечи­вается за счет смещения на один отсчет вперед временного окна (содержащего N отсчетов) и повторения измерения. Практически при таких измерениях учитывают время вычисления и эффекты, обусловленные конечной длиной слова в регистрах памяти. С учетом сказанного обобщенный спектр сигнала

; (5.6.7)

(5.6.8)

где N – число отсчетов, по которым находят оценку спектра.

Анализ (5.6.7) и (5.6.8) показывает, что скользящее спектральное измерение в одной точке z = z₁ эквивалентно фильтрации конечной импульсной характеристики фильтром с импульсной характеристикой вида

(5.6.9)

Чтобы найти спектр сразу во многих точках, равно­отстоящих на единичной окружности, можно использовать гребенку фильтров. Импульсную характеристику k-го фильтра, обеспечивающего измерение спектра в точке , запишем в виде

. (5.6.10)

В тех случаях, когда необходимо изменить форму АЧХ фильтра, чтобы, например, подавить нежелатель­ный шум и сигналы вне его полосы пропускания, вводят конечную весовую последовательность, на которую почленно умножается заданная последовательность, и, таким образом, получают новую временную шкалу.