5.3. Теория шкал и алгоритмические измерения

Объектами измерений являются свойства. Масса, цвет, электрическое сопротивление, умственные способности – типичные примеры для иллюстрации смысла, который здесь придается слову «свойство». Свойства существуют только в связи с эмпирическими объектами, такими, как физические тела, электромагнитные волны, люди. Электромагнитные вол­ны, например, обладают таким свойством, как цвет. Обычно один объект проявляет различные свойства: тон, например, обладает громкостью, высотой и тембром. Измеряя одно свойство, пренебрегаем всеми другими, которыми может обладать объект. При измерении массы пренебрегаем такими свойствами тел, как форма и цвет. Таким образом, совершенно несходные объекты могут стать эквивалентными, если рассмотрение ограничено одним свойством.

Говорят, что свойство объекта обладает определенной структурой, имея в виду любую структуру, детерминированную эмпирическими отношениями между эмпирическими объектами.

Несмотря на то, что всегда исходим из отношений между объектами, предмет измерения составляют свойства, а не сами объекты. Гомоморфное отображение свойств математичес­ким пространством называют измерительной шкалой.

В основе теории шкал лежит теоретико-множественный аппарат отношений. Рассмотрим, например, такое свойство, как высота тона. Простейшим эмпирическим отношением между двумя тонами, связанными со структурой свойства, является субъективное утверждение о том, какой из двух тонов выше. Можно ввести еще другое эмпирическое отношение, связанное со структурой этого свойства, определить высоту тона, лежащую между двумя данными высотами.

Эмпирические отношения поддаются математическому описанию на языке теории отношений. Пусть S – множество значений свойств объектов А, В, С, например множество их весов а, b, с. Эмпирическое отношение между объектами по их весам обозначим R, подразумевая, например, под R отношение «легче чем». Если тело с весом a легче тела с весом b, то это означает, что в системе эмпирических объектов имеет место отношение aRb. Система

(5.3.1)

называется эмпирической системой с отношениями, если S – множество свойств объектов (носитель системы с отношениями), а R_i – множество отношений между объектами по этим свойствам.

Для того чтобы было удобно высказываться об отношениях в эмпирической системе, ее отображают на числовую систему; одномерную систему

, (5.3.2)

которая называется абстрактной системой с отношением, если М – множество чисел (например, множество всех действительных чисел) – носитель системы, a P_i – определенные отношения на числах, которые зависят от выбора числовой системы так, чтобы с их помощью легко и однозначно отражались соответствующие отношения R_i из эмпирической системы. Отображение системы Е на систему N называют гомоморфизмом. Совокупность правил, которые позволяют выполнить сопоставление эмпирической системы с отношением в числовую систему с отношениями, называют шкалой.

В теории Суппеса и Зинеса шкала представляется тройкой

(5.3.3)

где – конкретный способ гомоморфного (т.е. однозначного в одну сторону) отображения Е на N.

Под гомоморфным отображением понимается масштаб единицы измерения (без учета адекватных операций). Если с помощью преобразования  отоб­ражение  можно взаимно однозначно перевести в отображение g (g = ,  = ^-1g), то шкалы и считаются принадлежащими к одному типу, а преобразования  – допустимыми преобразованиями для данного типа шкалы.

Рассмотрим некоторые типы шкал, имеющих широкое распространение в практике решения прикладных задач распознавания образов, при построении алгоритмов обнаружения эмпирических закономерностей и в технике обработки данных методами многомерного шкалирования.

Абсолютная шкала. В общем случае ее допустимое преобразование тождественно преобразованию . Это значит, что шкала не поддается никаким преобразованиям. Эта шкала метрическая. Ее используют в квантовой метрологии и при измерениях относительных физических величин. Например, исходным для описания многих используемых физических явлений является известное квантовомеханическое соотношение , в котором постоянная Планка как бы перебрасывает мост между микро- и макромиром, при этом энергия является микроскопической характеристикой квантовых переходов между энергетическими уровнями микрочастиц, а частота f (или длина волны ) излучения – макроскопической величиной, доступной измерению.

Измерения в квантовой метрологии отличаются высокими метрологически­ми характеристиками и уникальными свойствами, которые обусловлены стабильностью физических явлений, лежащих в их основе. Функции преобразо­вания квантовых измерительных приборов и преобразователей базируются на фундаментальных законах микромира и квантовомеханических соотноше­ниях. Во всех случаях в качестве коэффициентов преобразования таких средств измерений выступают фундаментальные физические константы, обычно извест­ные с высокой точностью, или коэффициенты, которые поддаются точному теоретическому расчету. Это кроме высокой точности преобразования обеспечивает переход к абсолютным измерениям и повышение метрологической надежности средств измерений, поскольку такие средства измерений не нуждаются градуировке и периодической поверке. Метрологические характеристики квантовых приборов мало или вообще не зависят от изменения внешних факторов. В качестве информативного параметра выходного сигнала квантовых средств измерений во многих случаях выступает частота, являющаяся наиболее точно измеряемой физической величиной, которую легко без искажений можно передать на большие расстояния. Это позволяет сделать общедоступной высокую точность измерения не только в метрологической практике, но и при технических измерениях.

Измерения в ядерной физике с помощью детекторов излучения осуществля­ют также по абсолютной шкале с использованием процедуры счета. Очевидно, что эти измерения безэталонные.

По абсолютной шкале измеряют относительные величины (коэффициенты усиления, трения, добротности, статистической вероятности и т.д.), которые выражаются относительными числами, не зависящими от выбора единиц, а при измерении этих величин не требуется эталонов. Особый интерес представляют шкалы для измерения КПД, вероятности, информации. Для них выбрана шкала от 0 до 1, причем конечные пункты шкалы физически как бы бесконечно удалены, недостижимы. Для абсолютных шкал иногда используют логарифмическую оценку, например, в децибелах.

Шкала отношений. Это метрическая шкала. Почти все технические измерения в рамках основного уравнения измерения описываются шкалами отношений. Для шкалы отношений допустимое преобразование результатов измерения – умножение всех их на одно и то же положительное число (т.е. изменение масштаба ). Как видно, допустимой группой преобразований для шкалы отношений является группа подобия. Сама физическая величина при этом не изменяется (инвариантность физической величины). Система объектов должна иметь «естественный», а не условный нуль. Как правило, «нулевой объект» непосредственно не содержится в эм­пирической системе, и его приходится вводить путем своего рода предельного перехода (так, нет нулевой длины, нулевой массы и т.д.). Шкалой отношений описываются и электрические напряжения как разности потенциалов.

Шкала интервалов. Шкала обладает метрическими свойствами частично, так как числовые значения не обладают многими свойствами действительных чисел. Эта шкала допускает положительные линейные преобразования – является положительным линейным преобразованием тогда, когда для каждого х имеем , где b – действительное число, а а – положительное действительное число. Здесь можно менять как начало отсчета, гак и единицы измерения. Так, в шкале Цельсия для температур таящего льда и кипящей воды выбраны числа 0 и 100, в шкале Реомюра – 0 и 80. Соответственно и группа допустимых преобразований должна быть такой, чтобы функция, описывающая преобразование, содержала два произвольно выбранных парамет­ра. Такими свойствами обладает общая линейная группа , содержащая преобразования растяжения-сжатия, преобразования сдвига и их сочетания. Шкала Цельсия преобразуется в шкалу Реомюра только изменением масштаба без сдвига «нулевого» объекта (а = 1, b = 0); при переходе к шкале Форенгейта, где для температуры таяния выбрано число 32 (а температура кипения получается равной 212°), необходим и сдвиг нуля. Возможность задать допустимые преобразования шкалы алгебраической формулой позволя­ют отнести интервальные шкалы к группе метрических шкал.

Шкала порядка. Ее называют также ординальной шкалой. Она учитывает наличие отношения порядка в системе объектов, для которых допустимым преобразованием является преобразование, не изменяющее порядок чисел. Все объекты выстраиваются по какому-либо свойству (некоторые из них могут занять одно и то же место в цепочке – быть эквивалентными), здесь отсутствует пропорциональность. Здесь мы уже не имеем дело с вели­чинами, хотя и упорядочиваем свойства в определенной системе. Важно, что для хранения ординальной шкалы необходимо такое же число образцовых объектов, какое нужно для классов эквивалентности, на которые должно быть разбито множество произвольных исследуемых объектов.

Шкала наименований. Наиболее «слабая» шкала. Здесь числа служат условными названиями объектов или классов. Правило шкалы – нельзя присваи­вать одно имя двум разным объектам. Значит, то отношение в системе объектов, которое передается шкалой наименований, – это идентичность объектов самим себе. Его аналогом в числовой системе является индивидуальность чисел; неважно, что одному объекту присваивается большее число, а другому – меньшее, эти числа можно поменять местами. Более строго допустимой группой преобразований для шкалы наименований является группа перестано­вок, иначе называемая пермутационной группой. Шкала наименований сущест­вует и как познавательная процедура классификации во многих приложениях (контроль изделий – классификация на годные и негодные, поверка приборов, диагностика задачи распознавания образов). В таких случаях вводят шкалу классификации – это отношение эквивалентности в определенном смысле. Так, все годные изделия эквивалентны в том смысле, что могут быть полезно использованы. В числовой системе это отношение проявляется в той же индивидуальности чисел, поэтому допустимая группа преобразований для шкалы классификации – та же группа перестановок.

Номинальная, ординальная, интервалов, пропорциональная и абсо­лютная шкалы считаются основными типами шкал, используемых при анализе экспериментальных и статистических данных, а также при формировании данных. Три последних типа обладают метрическими свойствами. Все метрические шкалы связаны между собой определенными соотношениями. Как уже отмечалось, интервалы шкалы интервалов образуют шкалу отношений; в свою очередь, отношения шкалы отношений образуют абсолютную шкалу. Имеется и другая связь: логарифмическое преобразование переводит абсолютную шкалу в шкалу отношений (как при выражении усиления в децибелах), а шкалу отношений – в шкалу интервалов (как при выражении частоты октавами).

Из рассмотренных шкал абсолютная является самой «сильной», а шкала наименований – самой «слабой». Действительно, из абсолютных данных можно узнать все, что могут дать любые другие шкалы, но не наоборот. Из того, что в группе А 15 студентов, в группе В 20, а в группе С 30, можно узнать: в А студентов в 2 раза меньше (шкала отношений), чем в С; в В их на 10 человек меньше, чем в С (шкала интервалов); в А их просто меньше, чем В и С (шкала порядка); число студентов в группе не совпадает (шкала наименований). Однако рекомендовать к ис­пользованию только абсолютные шкалы было бы неверно. Для получения информации о свойствах, измеряемых в сильных шкалах, требуются более совершенные (сложные, дорогие) измерительные приборы и процедуры. Приборов и процедур для измерения многих характеристик в сильных шкалах еще нет. Кроме того, слабые шкалы более помехоустойчивы – их показания не меняются, если помеха находится в рамках допустимых преобразований. А группа этих преобразований тем шире, чем слабее шкала. Если информация, содержащаяся в измерениях по любой из двух шкал разного типа, достаточна для решения некоторой задачи, то целесообразно использовать измерения в более слабой из этих двух шкал.

Как уже отмечалось, совокупность правил, которые позволяют выполнить условия гомоморфизма эмпири­ческой системы с отношением в числовую систему с отношения­ми, называют шкалой. Эта совокупность правил есть не что иное, как алгоритм измерения, а сам процесс нахождения числа – алгоритмическое измерение. Реальная измерительная практика вызвала необходимость расширения этого понятия и заставляет понимать под алгоритмическим измерением свойства, некоторый способ (алгоритм) нахождения символа (числа, функции, алгебраического элемента), моделирующего свойство исследуемого объекта в соответствии с конкретной измерительной шкалой. Измери­тельная шкала, ставя в соответствие свойствам символы, может быть задана только в виде множества свойств, представляющих символы. Следовательно, алгоритмическое измерение (АИ) должно состоять в сравнении неизвестных свойств объекта с эталонными свойствами до тех пор, пока не будут найдены свойства, находящиеся в таком отношении, которое позволит определить символ, моделирующий исследуемое свойство.

Особенность алгоритмического измерения при цифровой обработке сигналов на сигнальном микропроцессоре СМП (рис. 5.3.1 и 5.3.2) состоит в том, что это мет­рологически кодированный вычислительный процесс, когда основное измерение проводится на цифровой измерительной шкале (ЦИШ), пункты которой метрологически кодированы. Другими словами, цифровое алгоритмическое измерение (ЦАИ) есть процедура измерения, использующая не менее двух шкал – шкалу преобразования аналоговой величины в цифровую (шкала метрологического кодирования) и ЦИШ, на которой реализован алгоритм измерения.

Рис. 5.3.1. Функциональная схема цифровой обработки

аналогового сигнала

Рис. 5.3.2. Представление сигнального микропроцессора в виде

абстрактной измерительной системы

Способ гомоморфного отображения при цифровом алгоритмическом измерении удобно математически описывать с помощью концепции проверки отношения эквивалентности, поскольку любой процесс ото­бражения порождает отношение эквивалентности, которое вк­лючает три измерительные процедуры: формирование сравни­ваемых свойств, сравнение свойств, вычисление свойств.

Применительно к СМП формирование сравниваемых свойств означает формирование некоторой шкалы, являющейся совокупностью отметок (делений), изображающих ряд цифр, соответствующих измеряемой величине. При этом для форми­рования шкалы необходимо использование некоторого числа мер, для каждого из которых известно число содержащихся в нем квантов. Например, если выходной код АЦП содержит п двоичных разрядов, то с их помощью могут быть пред­ставлены десятичные числа от 0 до . Соответственно для такого кода набор мер, каждая из которых состоит из целого числа квантов, будет представлять собой равномерный ряд мер, начиная от меры, равной 0, и кончая самой большой мерой, равной квантов. При формировании шкал для метрологического кодирования могут быть взяты любые эталоны из этого ряда, что и определяет существование большого числа вариантов шкал для фиксированного числа разрядов. При относительно большом числе разрядов (1012) число вариантов использования шкал при преобразовании становится очень большим. В связи с этим для уменьшения времени преобразования множество возможных линейных и равномерных шкал разбивается на п классов эквивалент­ности – конкретных шкал. Внутри каждого класса эквивален­тности шкалы взаимозаменяемы в том смысле, что любая из этих шкал определяет данный класс, т.е. может служить его представителем. Такое разбиение имеет большой прак­тический интерес, так как ему удовлетворяют все известные виды и структуры АЦП.

Вторая процедура при ЦАИ – это сравнение свойств. По существу, это алгоритм преобразования аналогового сигнала в цифровой код. Для СМП он необходим при автоматизации структурного проектирования АЦП и связанного с ним цифро­вого моделирования. Необходимо заметить, что идеализирован­ные характеристики конкретной структуры АЦП в полной мере определяются выбранным набором шкал и методом их сочетания, в то время как вид логической схемы алгоритма остается, при использовании метода поразрядного кодирования, неизменным для любого набора шкал. В этом смысле можно говорить об алгоритмическом измерении в АЦП, поскольку процедура «сравнение свойств» реализуется по определенному алгоритму программно-аппаратными средствами.

Алгоритмическое измерение как функциональное реализуется путем подключения к АЦП микропроцессора (МП), который и реализует измерительную процедуру. Его алгоритмическая структура ориентирована на цифровую фильтрацию. Если необходимо получить результат измерения в аналоговой форме, то к МП подключают цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). Сле­довательно, для общей характеристики ЦАИ следует рас­сматривать в целом систему АЦП – МП или АЦП – МП – ЦАП, при этом измерительную процедуру осуществляют на цифровой измерительной шкале, которую можно определить как алгоритмическую структу­ру, реализуемую аппаратными и программными средствами для достижения высокой точности и производительности обработки измерительной информации при ЦАИ.