5.9.4. Код золотой p-пропорции

Коды золотой p-пропорции по своим математическим свойствам близки к p-кодам Фибоначчи. Эта близость следует из математической связи между p-числами Фибоначчи и золотой p-пропорцией. Было показано, что отношение p-чисел Фибоначчи (т.е. отношение весов соседних разрядов в p-коде Фибоначчи) при неограниченном увеличении их номеров стремится к золотой p-пропорции . Предел отношения весов соседних разрядов в p-коде Фибоначчи можно считать основанием указанного способа нумерации натуральных чисел, что позволяет с определенной степенью условности p-коды Фибоначчи отнести к классу систем счис­ления с иррациональными основаниями .

Сходство между упомянутыми кодами состоит также в су­ществовании одной и той же математической зависимости между весами двоичных разрядов рассматриваемых кодов. Это позволяет к p-кодам Фибоначчи и кодам золотой р-пропорции применять одни и те же правила преобразования кодовых изображений.

Вместе с тем имеется различие между p-кодами Фибоначчи и кодами золотой p-пропорции. Во-первых, p-коды Фибоначчи предназначены для представления натуральных чисел, в то время как коды золотой p-пропорции – для представления действительных чисел. Во-вторых, веса разрядов кода золотой p-пропорции в отличие от весов разрядов p-кода Фибоначчи образуют геометрическую прогрессию. Это имеет практическое значение при реализации такой важной арифметической опера­ции, как сдвиг кода.

5.10. Общий алгоритм метрологического кодирования

В основу построения алгоритма метрологического кодирования положена математи­ческая процедура проверки отношения эквивалентности (§ 5.4), которая описывается двумя соотношениями: в виде набора шкал

(5.10.1)

и как отображение через отношение эквивалентности

, (5.10.2)

где – итерационный алгоритм выбора меры; – шаг алгоритма; S_g = l при x > 0, S_g = 0 при x = 0, S_g = -1 при х < 0.

Кроме того, в § 5.5 показано, что между измерением и фильтрацией существует определенная эквивалентность. Это позволяет при конструировании общего алгоритма использо­вать некоторые положения цифровой фильтрации. Разовьем спектральный подход к проектированию шкалы метро­логического кодирования. Рассматривая после­довательность мер при кодировании как импульсную характеристику конечной длительности и имея в виду наличие связи между импульсной характеристикой и частотной характеристи­кой через дискретное преобразование Фурье, можно использовать некоторые процедуры оптимизации при проектировании кодовых шкал в частотной области.

5.10.1. Алгоритм Стахова

Для построения оптимального n-шагово­го алгоритма цифрового кодирования опишем следующую математическую модель физического измерения.

Основной измерительной процедурой при аналоговом измерении для АЦП является операция «сравнение свойств». На языке модели кодирования эта операция заключается в разбиении исходного отрезка АВ, численно равного диапазону преобразования аналогового сигнала, в определенном отноше­нии. Результат же сравнения состоит в проверке отношения эквивалентности.

Пусть на отрезке АВ находится некоторая точка X, соответствующая истинному значению сигнала. Задача заключа­ется в том, чтобы найти длину отрезка АХ, т.е. цену деления шкалы (меру). Результат сравнения на каждом шаге алгоритма будем осуществлять при помощи компаратора, показания которого описываются двухаргументной функцией

(5.10.3)

где и – сравниваемые свойства.

Процесс метрологического кодирования состоит в том, что по некоторому алгоритму на каждом шаге происходит сужение интервала неопределенности. На процесс метрологического кодирования накладывают некоторые условия и ограничения, вытекающие из существа алгоритма.

Систему формальных правил разбиения отрезка АВ при помощи компаратора при определенных ограничениях  называется (п, k, )-алгоритмом цифрового метрологического ко­дирования (ЦМК).

Описанный алгоритм ЦМК, по-существу, сведен к одномер­ному поиску координаты точки X на отрезке АВ с помощью k компараторов за п шагов. Ясно, что на последнем шаге действия алгоритма выделяется некоторый интервал неопреде­ленности , содержащий точку X. Рассматривая действие алгоритма для всех точек Х  АВ и выделяя все интервалы неопределенности, содержащие соответствующие точки X, полу­чаем множество интервалов неопределенности. Особый интерес представляют случаи, когда (п, k, )-алгоритм разбивает отре­зок АВ на N равных интервалов. В этом случае при равновероятности распределения точек Х  АВ количество ин­формации, содержащееся в процедуре цифрового метрологического кодирования, будет , где  – наименьшая точность определения точки X, численно равная числу уровней квантования, и задача синтеза оптимального (п, k, )-алгоритма сводится в этом случае к нахождению (п, k, )-алгоритма, обеспечивающего наиболь­шее число уровней квантования N.

В технике аналого-цифрового преобразования широкое рас­пространение получили следующие алгоритмы ЦМК:

1. Последовательного счета, в котором за п шагов отрезок АВ с помощью одного компаратора разбивается на п + 1 равных частей, т.е.

; (5.10.4)

2. Поразрядного кодирования, в котором за п шагов отрезок АВ с помощью одного компаратора разбивается на 2ⁿ равных частей, т.е.

; (5.10.5)

3. Считывания, состоящего из одного шага (n = l), при этом с помощью k компараторов отрезок АВ разбивается на k + l равных частей, т.е.

. (5.10.6)

Описанные выше математические модели ЦМК распростра­няются только на такие АЦП, в которых функционирование устройства сравнения (компаратора) описывается двухаргументной функцией (5.10.3). За рамки этой модели выходят АЦП считывания, использующие двоично-кодированные рефлексные коды, например код Грея. В основе двоично-кодированных шкал лежит более сложный тип компаратора, который является многоаргументным.