5.5. Моделирование цифровых алгоритмических измерений

Система АЦП – ЦП последовательно выполняет три измерительные процедуры: формирование сравниваемых свойств (формирование шкалы метрологического кодирования), сравнение свойств (построение алгоритма управляющей логики) и вычисление свойств (формирование цифровой измерительной шкалы и алгоритма счета).

Свойства конкретной структуры АЦП полностью определяются используемым набором шкал и алгоритмом сравнения входной величины с этим набором. Для того чтобы предложить рациональный набор шкал, не приводящий к избыточности, целесообразно разбиение всех возможных вариантов шкал с помощью отношения эквивалентности. На практике широко распространен метод поразрядного кодирования (метод последовательных приближений), у которого в набор входит по одной шкале из каждого класса n классов эквивалентности. При этом каждая из шкал имеет только одно деление, которое можно рассматривать как меру (кодированный пункт шкалы).

Необходимо также учесть дополнительные требования:

1) равномерность шкалы, под которой понимается постоянство разности численных значений, соответствующих соседним делениям шкалы (цена деления шкалы);

2) линейность шкалы, т.е. наличие пропорциональности между мерами, образующими данное деление на шкале, и кодом, соответствующим этому делению;

3) диапазон измерения шкалы должен быть кратен степени от числа 2ⁿ (амплитуда n-шкалы должна быть равна 2ⁿ квантам).

Процедуры алгоритмического измерения можно выразить двумя уравнениями: в виде набора шкал

(5.5.1)

и как отображение через отношение эквивалентности

(5.5.2)

где – итерационный алгоритм выбора меры; – шаг алгоритма; – функция, принимающая значение 1 при х > 0, значение 0 при х = 0 и значение -1 при х < 0.

При использовании позиционного двоичного кода диапазон преобразования (в квантах) и цену деления шкалы (в квантах) соответственно определяют по формулам и .

Система АЦП – ЦП начинает функционировать после того, как в АЦП закончилось преобразование, т.е. после поступления на вход ЦП n-разрядного кода. Далее в ЦП осуществляется алгоритмическое измерение, которое можно выразить двумя соотношениями: в виде реляционной системы, моделирующей цифровую измерительную шкалу,

(5.5.3)

и как отображение через отношение эквивалентности, моделирующей вычислительный процесс,

(5.5.4)

Здесь Г – носитель цифровой шкалы (НЦШ) – полюсный или сигнальный граф; R_n – отношения и операции, определяющие алгебраическую структуру шкалы (АСШ).

В математической теории измерения широко используют операцию отображения множества, поскольку измерительный прибор есть устройство, отображающее множество возможных значений измеряемых величин в множество элементов шкалы прибора. Но, как известно, любое отображение порождает отношение эквивалентности. Именно так следует понимать формулы (5.5.2), (5.5.4). В (5.5.3), (5.5.4) все величины выражены в цифровом коде.

Рассмотрим отношение эквивалентности. В практике проектирования алгоритмов измерения широко используют арифметику по модулю М (mod M). Два числа а и b называют сравнимыми по mod M, если

a = b + kM или a = b(mod M),

где k – некоторое целое число; М – модуль.

Все целые числа сравнимы по mod M с каким-либо целым числом, принадлежащим конечному множеству 0, 1, 2, ..., М-1, называемому множеством целых чисел по mod M. Эта арифметика кажется на первый взгляд необычной, но ею часто пользуются в повседневной жизни. Например, когда говорим о дне недели, то пользуемся арифметикой по mod 7, а при отсчете времени суток – арифметикой по mod 12 или по mod 24. В десятичной системе счисления дробная часть числа обозначена по mod 10. При М = 1 имеем полное отношение эквивалентности, состоящее из единственного класса, который совпадает с исходным множеством (любые два элемента эквивалентны, так как все целые числа делятся на 1).

Отношение а = b (mod 2) разбивает множество целых чисел на классы четных и нечетных чисел. Например, измерение в булевой шкале (рис. 5.4.1) проводится по mod 2.

Предельным случаем отношения эквивалентности является тождественное равенство. Единственный элемент, равный какому-либо данному элементу, есть этот самый элемент. Следовательно, имеем самое полное разбиение, при котором классы эквивалентности содержат только по одному элементу исходного множества. В этом последнем случае М  , т.е. числа приобретают значение величины. Классическая измерительная процедура, определяемая основным уравнением метрологии, относится к этому случаю.

Арифметика по mod M в общем случае рассматривает числа, не имеющие величины, т.е. цифры-символы. Не можем говорить, что одно число больше другого или что два числа близки друг к другу. Например, вторник может быть близок к среде и необязательно ей предшествует, если они относятся к разным неделям. Это значит, что понятия сравнимости и равенства не совпадают, за исключением случая, когда а и b меньше М. В последнем случае единственное число, кратное и меньшее М, может быть только нулем, поэтому а и b должны быть равны.

В последние годы рассматривались преобразования, основанные на теоретико-числовых концепциях и пригодные для быстрого вычисления конечной цифровой свертки без ошибок. Эти преобразования определены на конечных полях и кольцах целых чисел с арифметическими действиями, выполняемыми по модулю некоторого целого числа. Теоретико-числовые преобразования идеально подходят для цифровых алгоритмических измерений, так как квантование по амплитуде и дискретизация по времени входят непосредственно в их определения.

Рассмотрим специфику схемотехнической реализации измерительных шкал на примере цифро-аналогового преобразователя; его можно рассматривать как «инвертирующий усилитель» с программируемым цифровым входом (рис. 5.5.1,а), у которого усиление регулируется с помощью весовой системы резисторов. С учетом принятых на рисунке обозначений можно записать , где – опорное напряжение. Управление входным током осуществляется переключателями дискретно путем изменения величины (рис. 5.5.1,б), так что .