5.9.2. Числа Фибоначчи

В математике под числами Фибоначчи обычно понимают ряд чисел:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (5.9.9)

Следует обратить внимание на следующие свойства чисел Фибоначчи:

1. В ряду (5.9.9) после двух нечетных чисел следует одно четное, т.е. остатки от деления чисел Фибоначчи на два представляют собой периодическую последовательность:

1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...;

2. Предел отношения соседних чисел Фибоначчи стремится к золотой пропорции

; (5.9.10)

3. Сумма первых п членов в ряде (5.9.9) при будет

(5.9.11)

Числа Фибоначчи обобщаются в рамках принципа отноше­ния эквивалентности примерно так же, как и золотая про­порция. Предел отношения соседних p-чисел Фибоначчи совпадает с золотой p-пропорцией

(5.9.12)

и при достаточно больших п отношение соседних p-чисел Фибоначчи равно золотой p-пропорции:

(5.9.13)

5.9.3. p-код Фибоначчи

Фибоначчиеву систему счисления позво­ляют построить p-числа Фибоначчи. Такая возможность осно­вана на представлении любого натурального числа N в виде

, (5.9.14)

где – двоичная цифра в l-м разряде кода (5.9.14); – вес l-го разряда (l = 0, 1, 2, ..., n-1).

Представление натурального числа N в виде (5.9.14) называют p-кодом Фибоначчи числа N. Сокращенная запись p-кода Фибоначчи .

Выражение (5.9.14) включает в себя теоретически бесконечное число способов нумерации натуральных чисел, так как каждому классу эквивалентности соответствует свой p-код Фибоначчи. Рассмотрим крайние частные случае p-кода Фи­боначчи.

Пусть р = 0. В этом случае p-числа Фибоначчи совпадают с двоичными числами, т.е. , и выражение (5.9.14) принимает вид

. (5.9.15)

Пусть р = . В этом случае каждое p-число Фибоначчи тождественно равно 1, т.е. для любого , и выражение (5.9.14) принимает вид унитарного кода N = l + l + ... + l.

Рассмотрим структуру отображения множества двоичных слов на множество натуральных чисел в p-коде Фибоначчи при р>0. Пример для 5-разрядных двоичных слов при р=1 и 2 представлен ниже:

p = 0 p = 2

Здесь можно усмотреть следующие особенности кодирова­ния натуральных чисел.

1. При заданных целых и помощью -разрядного р-кода Фибоначчи можно представить натуральных чисел от 0 до включительно. В приведенном примере от 0 до 12 и от 0 до 8 соответственно для р = 1 и 2.

2. Имеется множественность представления чисел при р > 0, за исключением числа 0 и максимального числа , равного 12 при р = 1 и п = 5 или 8 при р = 2 и n = 5, все остальные натуральные числа имеют множественное кодовое представление, т.е. каждому числу соответствует некоторое множество кодовых представлений.

3. Множественное кодовое представление имеет зеркально-инверсную ось симметрии. Так, для приведенного примера при р = 1 для числа 1 имеем А₁ = А₃₀ и А₂ = А₂₉, для числа 3 имеем А₅ = А₂₆, А₆ = А₂₅, A₈ = A₂₃ и т.д.

Далее, наборы А, лежащие на оси симметрии, также зеркально-инверсно симметричны между собой:

для числа 6 имеем А₁₃ = А₁₈, А₁₄ = А₁₇ (при p = 1);

для числа 4 имеем А₁₁ = А₂₀, A₁₃ = A₁₈, А₁₄ = А₁₇ (при р = 2).